Решение слау методом Зейделя

Постановка задачи и алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений аналогична методу простой итерации. Отличие заключается в том, что уточненные значения неизвестных используются сразу после их получения, а не после завершения расчетов всей итерации. В итоге изменяется расчетная формула метода, которая имеет вид:

(16)

Итерационный процесс поиска решения системы завершается, если выполняются условия (10).

Пример 5. Решить методом Зейделя систему линейных алгебраических уравнений (11), заданную в примере 4, приняв ту же погрешность.

Решение. Приведем систему (11) к виду, удобному для проведения итераций. Для этого каждое уравнение системы разрешаем относительно , т.е. из первого уравнения выражаем в явном виде , из второго - и т.д.

(17)

Зададим начальное приближение. Обычно в качестве начального приближения берется столбец свободных коэффициентов системы (17), т.е.

(18)

Вычисляем первое приближение по формулам (17) с учетом того, что уточненные значения неизвестных используются сразу после их получения.

(19)

Сравниваем первое и начальное приближения:

Требуемая точность вычислений еще не достигнута, т.е. необходимо продолжать вычислять следующие приближения.

Вычисляем второе приближение по формулам (17) аналогично первому приближению.

Сравниваем второе и первое приближения:

Процесс следует продолжить, так как погрешность вычислений превышает допустимую. Организуем процесс вычислений в ЭТ. Размещение информации и результаты решения приведены в таблице 8, расчетные формулы – в таблице 9. Результаты ручного расчета являются контрольными.

Таблица 8. Размещение информации и результаты

Таблица 9. Расчетные формулы

Адрес ячейки	Расчетные формулы
A7	=e3/a3
B7	=e4/b4
C7	=e5/c5
A8	=($e$3-$b$3*b7-$c$3*c7)/$a$3
B8	=($e$4-$a$4*a8-$c$4*c7)/$b$4
C8	=($e$5-$a$5*a8-$b$5*b8)/$c$5
D8	=МАКС(abs(a8-a7);abs(b8-b7);abs(c8-c7))
E8	=ЕСЛИ(d8<=0,01;”da”;”net”)

Анализ результатов. Сравнивая результаты решения, полученные двумя методами (таблицы 6 и 8), отмечаем их идентичность. Метод Зейделя эффективнее, так как решение системы получено при меньшем числе итераций.

Работа 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Цель работы: Освоить численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и компьютерные технологии их реализации.

Содержание и порядок выполнения работы

1. Записать дифференциальное уравнение своего варианта.

2. Изучить постановку задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

3. Изучить метод Эйлера решения обыкновенного дифференциального уравнения.

4. Выполнить контрольный расчет в таблице для двух шагов.

5. Подготовить размещение информации на рабочем листе ЭТ для реализации метода Эйлера.

6. Получить решение на компьютере и вклеить результаты расчета в отчет.

7. Изучить модифицированный метод Эйлера.

8. Выполнить контрольный расчет в таблице для двух шагов.

9. Подготовить размещение информации на рабочем листе ЭТ для реализации модифицированного метода Эйлера.

10. Получить решение на компьютере и вклеить результаты расчета в отчет.

11. Изучить метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности решения обыкновенного дифференциального уравнения.

12. Выполнить контрольный расчет в таблице для двух шагов.

13. Подготовить размещение информации на рабочем листе ЭТ для реализации метода Рунге-Кутта 4-го порядка точности

14. Получить решение на компьютере и вклеить результаты расчета в отчет.

15. С помошью мастера диаграмм на одном рисунке построить графики решений, полученные тремя методами, и вклеить рисунок в отчет.

16. Выполнить анализ полученных решений (сравнение результатов расчета на компьютере с контрольними и методов между собой).

17. Оформить и защитить отчет

Краткие сведения из теории и компьютерной технологии

Поразительна аналогичность дифференциальных уравнений, относящихся к различным явлениям. Колебательные процессы в электрическом контуре, содержащем индуктивность, емкость и активное сопротивление, и простейшей механической системы, состоящей из твердого тела некоторой массы, закрепленного на пружине, при наличии гасителей колебаний вязкого трения, описываются одинаковыми по форме обыкновенными дифференциальными уравнениями. Динамические расчеты строительных сооружений и строительно-дорожных машин связаны с решением обыкновенных дифференциальных уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения используются для описания динамических процессов предприятий и макроэкономики. Динамические модели позволяют создавать предприятия с заранее заданными свойствами и при необходимости осуществлять активное управление ими.

Дифференциальное уравнение – уравнение, которое связывает независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков.

Классификация дифференциальных уравнений:

• обыкновенные дифференциальные уравнения (неизвестная функция является функцией одной переменной);

• дифференциальные уравнения в частных производных (неизвестная функция является функцией нескольких переменных).

Порядок дифференциального уравнения определяется порядком его старшей производной.

Формы записи обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка:

• общий вид

• разрешенное относительно старшей производной

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция которая при подстановке ее в уравнение превращает его в тождество. График этой функции называется интегральной кривой. Различают общее и частное решения дифференциального уравнения. Общее решение содержит столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Частное решение получается из общего при конкретных значениях произвольных постоянных. Геометрически общему решению соответствует совокупность интегральных кривых, а частному – одна конкретная кривая из этой совокупности.

Основные типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений:

• задача Коши (или задача с начальными условиями);

• краевая задача;

• задача на собственные значения.

К сожалению, только очень немногие дифференциальные уравнения удается решить аналитически. Появление ЭВМ сделало более эффективным использование численных методов решения дифференциальных уравнений. Численные методы не позволяют найти общее решение и могут дать только какое-то частное (решение задачи Коши или краевой задачи). При этом само решение имеет вид таблицы значений искомой функции на некоторой сетке значений аргумента. Следует отметить, что численные методы применимы к решению очень широкого класса уравнений и всем типам задач для них.

Постановка задачи Коши для обыкновенного

дифференциального уравнения первого порядка

Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

(1)

заключается в отыскании функции , удовлетворяющей этому уравнению и начальному условию

(2)

Решить задачу Коши численным методом – значит найти приближения для значений точного решения в точках удовлетворяющие условию (2). Если шаг сетки то

и задача несколько упрощается.

Решить задачу Коши геометрически - означает выбрать из всего множества интегральных кривых уравнения (1) ту кривую, которая проходит через точку с заданными условиями (2) координатами.

Задачу Коши можно решить разными численными методами, которые отличаются друг от друга алгоритмами и точностью вычислений.