- •Інститут економіки та нових технологій Кафедра прикладної математики та математичного моделювання
- •Наклад 50 примірників Передмова
- •І. Основні питання, що вивчаються в розділі.
- •1. Диференціювання функцій.
- •2. Дослідження функцій та побудова графіків.
- •Іі. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач.
- •1. Диференціювання функцій.
- •1. Означення похідної.
- •2. Зв’язок між неперервністю та диференційованістю функції. Теорема 1.
- •3. Означення диференціала.
- •4. Основні правила диференціювання.
- •5. Похідні основних елементарних функцій.
- •7. Диференціювання функцій, заданих неявно та параметрично.
- •1. Зростання та спадання функції.
- •2. Екстремуми функцій.
- •Теорема 8. Необхідна умова екстремуму.
- •Теорема 9.
- •3. Опуклість, вгнутість. Точки перетину.
- •Теорема 10. Достатня умова точки перегину.
- •4. Асимптоти.
- •5. Схема повного дослідження функції.
- •Приклад 10
- •6. Знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку.
- •Завдання 2.
- •Варіанти завдань.
- •Завдання 3
- •Варіанти завдань.
- •Завдання 4.
- •Варіанти завдань.
- •Завдання 5.
- •Варіанти завдань.
- •V. Список використаної і рекомендованої літератури.
Теорема 10. Достатня умова точки перегину.
Нехай функція двічі диференційована в деякому околі критичної точки другого роду , за виключенням, можливо, самої точки . Тоді, якщо в інтервалах , має протилежні знаки, то – абсциса точки перегину. Якщо ж має однаковий знак у цих інтервалах, то точка з абсцисою не є точкою перегину.
4. Асимптоти.
Означення 12. Пряма називається асимптотою графіка функції , якщо відстань від точки графіка функції до прямої при віддалені точки у нескінченність.
Вертикальні асимптоти.
Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції , якщо . Неперервні функції не мають вертикальних асимптот.
Похилі асимптоти.
Пряма є похилою асимптотою графіка функції , якщо існують скінченні границі , .
Горизонтальні асимптоти.
Пряма є горизонтальною асимптотою графіка функції . Горизонтальна асимптота є частинним випадком похилої асимптоти при .
5. Схема повного дослідження функції.
Для повного дослідження функції та побудови її графіка можна рекомендувати таку схему:
Вказати область визначення функції;
Дослідити функцію на парність, непарність (симетрію графіка), періодичність;
Знайти точки перетину функції з осями координат;
Знайти точки розриву функції, якщо вони існують, і встановити їх характер;
Знайти асимптоти графіка функції;
Визначити інтервали зростання та спадання функції та екстремуми;
Визначити інтервал опуклості та вгнутості функції та точки перегину;
Провести необхідні додаткові дослідження: сталість знаку функції, розташування графіку відносно осей координат (вище, нижче), поведінка функції на нескінченності, тощо.
Побудову графіка рекомендується виконувати поступово, переходячи від пункту до пункту схеми, з нанесенням знайдених у кожному пункті характеристик.
Приклад 10
Дослідити функцію та побудувати її графік.
1. Область визначення функції . На інтервалі , на інтервалі .
2. Функція не є парною, не є непарною, бо , тобто , .
Функція не періодична, бо не існує такого числа , щоб .
Отже, маємо функцію загального вигляду.
1. Точки перетину з осями координат та .
2. Точка розриву функції . Маємо розрив другого роду, бо ,
3. Вертикальна асимптота , бо .
4. Похилі асимптоти шукаємо у вигляді .
;
.
Отже, – похила асимптота.
5. Знаходимо точки екстремуму та визначаємо інтервали монотонності функції.
6. Для знаходження критичних точок розв’язуємо рівняння , тобто , звідки знаходимо Критичні точки та точка (це точка розриву функції) поділяють область визначення функції на інтервали, які вказані на наведеній нижній схемі.
Отже, .
На проміжку функція зростає;
На проміжку функція спадає.
7. Знаходимо точки перегину графіка кривої та визначаємо інтервали опуклості та вгнутості.
;
на проміжку , тобто крива опукла на цьому проміжку;
на проміжку тобто крива вгнута на цьому проміжку.
Точок перегину немає, бо точка , в околі якої змінюється знак другої похідної, є точкою розриву функції. Результати цього дослідження наведені на схемі.
Тут знак означає опуклість, - вгнутість.
8. Проводимо додаткові дослідження:
а) на інтервалі (графік нижче осі ), на інтервалі (графік вище осі );
б) дослідимо поведінку функції на нескінченності: .
На основі досліджень поступово будуємо графік функції .