8.5. Явление взаимной индукции
Возьмем два
контура 1 и 2, которые расположены близко
друг к другу. Пусть
в контуре 1 течет переменный ток
.
Магнитное поле тока
создает магнитный поток через сечение,
ограниченное контуром 2. Поток
пропорционален току
:
(8.9)
Пусть в контуре 2
течет переменный ток
.
Магнитное поле тока
создает магнитный поток через сечение,
ограниченное контуром 1. Поток
пропорционален току
:
(8.10)
Контуры 1 и 2
называются связанными,
а явление возникновения э.д.с.
электромагнитной индукции в одном из
контуров при изменении силы тока в
другом называется взаимной
индукцией.
Коэффициенты пропорциональности
и
называются коэффициентами
взаимной индукции.
Их значения зависят от взаимного
расположения контуров, их формы и
размеров, а также магнитной проницаемости
среды. Единица измерения коэффициентов
и
- 1 Гн.
Пусть имеются две тороидальные однослойные катушки 1 и 2, вплотную прилегающие друг к другу (см. рис. 8.5). Внутри катушек есть неферромагнитный сердечник с магнитной проницаемостью .
Рис. 8.5. Две обмотки с магнитной связью
В данном случае
все линии индукции, создаваемые током
одной катушки, проходят и через другую
катушку. Обозначим
и
- сила тока в первой и второй катушке,
соответственно,
и
- число витков в первой и второй катушке,
соответственно,
- площадь сечения катушек, и
- средняя длина каждой из катушек,
.
Напряженность магнитного поля катушки
1 равна
Поле
создает магнитный поток через один
виток катушки 2, равный
.
Полный магнитный поток через катушку
2 равен
откуда коэффициент взаимной индукции
Аналогично найдем магнитный поток через катушку 1, создаваемый магнитным полем тока катушки 2 как
откуда коэффициент взаимной индукции
Видно, что для выбранных двух катушек коэффициенты взаимной индуктивности одинаковы:
(8.11)
Пусть теперь
внутрь катушек помещен ферромагнитный
сердечник. Магнитная проницаемость
такого сердечника зависит от напряженности
поля:
.
Тогда
а
Если
,
то
и, значит,
,
откуда следует, что коэффициенты взаимной
индукции катушек с ферромагнитным
сердечником неодинаковы:
,
если
.
8.6. Энергия магнитного поля
Рассмотрим
цепь на рис. 8.6. При замкнутом ключе
через соленоид течет постоянный ток
.
Ток соленоида порождает постоянное
магнитное поле с индукцией
.
Индуктивность
соленоида без ферромагнитного сердечника
не зависит от тока
,
протекающего через соленоид, то есть
.
Если ключ разомкнуть,
то через соленоид будет течь убывающий
со временем ток
,
который замыкается через сопротивление
.
В соленоиде возникнет э.д.с. самоиндукции,
равная
,
где
- магнитный поток в соленоиде. За время
по замкнутой
- цепи будет перенесен заряд
.
Э.д.с. самоиндукции совершит работу по
переносу этого заряда, равную
Так как
,
то
.
Тогда
Рис. 8.6
За время убывания тока от начального значения до нуля э.д.с. самоиндукции совершает работу
(8.12)
которая идет на нагревание сопротивления и соединительных проводов.
Совершение данной работы сопровождается исчезновением магнитного поля. Других изменений, кроме нагревания сопротивления и соединительных проводов, в цепи и окружающих телах не происходит. Это указывает на то, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой была совершена работа.
Вывод. Проводник с индуктивностью , по которому течет ток силы , обладает энергией
(8.13)
которая локализована в магнитном поле, созданном током.
Величина
из (8.13) называется собственной
энергией тока
.
Если ключ
первоначально был разомкнут, а затем
замкнут, то источник э.д.с.
совершает работу по установлению тока
от начального значения, равного нулю,
до стационарного значения
.
Часть этой работы, равная
,
идет на создание магнитного поля
соленоида. Эта часть работы совершается
против э.д.с. самоиндукции и равна
что совпадает с (8.12).
Выразим энергию магнитного поля через характеристики самого поля. В случае соленоида имеем:
(8.7)
откуда
(8.14)
где
- объем соленоида,
.
Кроме того,
(8.15)
Подставим (8.14) и (8.15) в (8.13), найдем
(8.16)
Внутри идеального соленоида энергия магнитного поля распределена равномерно, поэтому плотность энергии магнитного поля
(8.17)
Выражение (8.17) можно переписать и в векторном виде:
(8.18)
Из теории электромагнетизма следует, что выражения (8.17) и (8.18) остаются справедливыми для любого изотропного магнитного поля, как однородного, так и неоднородного.
Энергия магнитного поля в объеме равна
(8.19)
Пусть имеются две тороидальные однослойные катушки 1 и 2, вплотную прилегающие друг к другу (см. рис. 8.5). Внутри катушек есть неферромагнитный сердечник с магнитной проницаемостью .
Рис. 8.5. Две обмотки с магнитной связью
Напряженность суммарного магнитного поля внутри катушек
где выбор знака зависит от того, совпадают или противоположны направления токов в катушках.
Энергия магнитного поля в объеме катушек
откуда энергия магнитного поля катушек с магнитной связью равна
(8.20)
где величина
(8.21)
называется энергией взаимной связи двух токов.
Вывод: Энергия магнитного поля катушек с магнитной связью отличается от суммы собственных энергий токов катушек на величину энергии взаимной связи двух токов.
Причина этого отличия – в нелинейной зависимости энергии магнитного поля от напряженности магнитного поля.