3. Фундаментальные (гравитационные) взаимодействия

3.1. Общие сведения

Гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения; две материальные точки (тела, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними) притягиваются друг к другу с силой:

F = G m₁ m₂ / r²,

где G ^_ гравитационная постоянная, равная 6,67∙10^-11 Н∙м²/кг² m₁ и m₂ ^_ массы взаимодействующих материальных точек; r ^_ расстояние между ними.

Данный закон справедлив и для однородных шаров; при этом r ^_ расстояние между их центрами.

Движение планет вокруг Солнца и спутников вокруг планет (в том числе и искусственных) описывается законами Кеплера:

1. планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце;

2. радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, в равные отрезки времени описывает равные площади;

3. квадраты времени обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

Т₁² / Т₂² = R₁³ / R₂³.

В случае круговой орбиты роль большой полуоси играет радиус орбиты.

3.2. Примеры решения задач

Задача 3.2.1. Найти величину скорости υ, с которой нужно вывести искусственный спутник Земли на круговую орбиту на высоту Н = 1600 км над поверхностью Земли. Радиус Земли R =6400 км, ускорение силы тяжести у поверхности Земли g = 9,8 м/с². Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение: На высоте Н над поверхностью Земли на спутник действует сила тяготения

F = G∙ Mm / ( R + H )²,

где М ^_ масса Земли; m ^_ масса спутника.

Центростремительное ускорение спутника

а = υ² / ( R + H ).

По второму закону Ньютона

G ∙ Mm / ( R + H )² = m ∙ υ² / ( R + H ),

откуда

υ = √ G ∙ M / ( R + H ).

У поверхности Земли сила тяжести F_m = G ∙ Mm / R² сообщает телу массой m ускорение g. Поэтому G ∙ Mm / R² = mg, откуда GM = gM². С учетом последнего соотношения

υ = √ gR² / ( R + H ) = R√ g / ( R + H ),

υ = 6,4∙10⁶ м ∙ √ ( 9,8 м/с² / 8,0∙10⁶ м ) ≈ 7,1∙10³ м/с = 7,1 км/с.

Задача 3.2.2. Какова максимальная сила гравитационного притяжения между двумя свинцовыми шарами с массой 45 кг каждый и диаметром 20 см? Сравните найденную силу с силой притяжения Земли.

Решение: Сила гравитационного притяжения между свинцовыми шарами

F = G ∙ ( m / R )²,

где m ^_ масса шара.

Подставляем численные значения:

F = 6,67∙10^-11 ∙ ( 45 / 0,2 )² = 3,37∙10^-6 H.

Земля притягивает каждый из данных шаров с силой F_g = mg = 45 ∙ 9,8 = 440 H, т.е. более чем в 100 млн. раз сильнее их взаимного притяжения.

Задача 3.2.3. На какой высоте должен находиться спутник Земли, чтобы его период обращения был равен периоду обращения Земли? Известно, что спутник, летавший на расстоянии примерно 6400 км от центра Земли (первый искусственный спутник) имел период обращения Т = 5000 с.

Решение: В соответствии с третьим законом Кеплера

R₂³ = ( Т₂² / Т₁² ) ∙ R₁³,

где R₁ и T₁ ^_ соответственно радиус орбиты и период обращения первого искусственного спутника, а R₂ и T₂ ^_ радиус орбиты и период обращения спутника Земли, высота которого не известна.

Предполагается, что первый искусственный спутник удален от поверхности Земли на относительно небольшое расстояние по сравнению с радиусом Земли. А это означает, что R₁ ≈ 6400 км и Т₁ = Т = 5∙10³ с. Нужно найти R₂ при условии, что период Т₂ равен 1 суткам или 8,6∙10⁴ с.

Радиус обращения

R₂ = R₁ ∙ ³√ ( T₂ / T₁ )² , R₂ = 6400 км ∙ ³√ ( 86 / 5 )² = 47000 км.

Спутник, пролетающий над экватором на высоте Н = R₂ – R₁ ≈ 40000 км, будет парить над одной и той же точкой земной поверхности, если, конечно, он вращается в ту же сторону, что и Земля.

Задача 3.2.4. Найдите численное значение второй космической скорости, т.е. такой скорости, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно преодолело земное тяготения и навсегда удалилось от Земли.

Решение. Сила притяжения между телом и Землей равна F = G ∙ mM / r², где m ^_ масса тела; М ^_ масса Земли и r ^_ расстояние между ними.

Вблизи поверхности Земли r = R (R ^_ радиус Земли) и F = mg.

Значит, F = mg = G ∙ mM / R².

Для того, чтобы тело удалилось от Земли, необходимо, чтобы его кинетическая энергия была достаточна для преодоления потенциальной энергии сил тяготения, т.е.

mυ² / 2 ≥ GmM / R.

Из последних двух уравнений следует:

υ ≥ √ 2gR.

После подстановки численных значений g и R имеем:

υ ≥ 11,2 км/с.

Задача 3.2.5. Оценить возможный радиус черной дыры для звезды, масса которой больше солнечной массы в 10 раз.( М = 10М₀ = 10^.2^.10³⁰кг = 2^.10³¹кг;

G = 6,67^.10¹¹ Hм²/кг² ; с = 3^.10⁸ м/с ). Определить: R_чд

Решение: Радиус черной дыры (без учета эффектов общей теории относительности) находится из условия равенства второй космической скорости и скорости света.

Вторая космическая скорость ^_ это скорость, с которой тело может уйти за пределы поля тяготения. Она находится из условия закона сохранения энергии в точке ( сумма кинетической E_кин и потенциальной Е_пот энергий), удаленной от центра тяготения на расстояние R , и на бесконечном расстоянии:

Е_{пот R} + E_{кин R} = Е_пот + Е_кин ;

m V²/2 – G m M/R = 0 + 0 ;

V₁₁ = 2G M/R.

Приравнивая вторую космическую скорость к скорости света, получаем:

с = 2G M/R

Откуда R = 2G M/c²

R = 2 ^. 6,67^.10^{-11 .} 2^.10³¹/ (3^.10⁸)² =

= (2 ^. 6.67 ^. 2/9) ^. 10^-11+31-16 = 2.9644^.10⁴м ≈

≈ 29,6^.10³м ≈ 30 км

Ответ: R_чд ≈ 30 км.