3. Обчислити значення матричного многочленна3А-4BA +A²– B – 3E, якщо , .

4. Знайти ранг матриці .

4. Точки A(-3; 5; 7), B(-4; 3; 7), С(0; 9; 5) і S(4;1;2) — вершини піраміди ABCS. Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки М перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершиніSпірамідиABCS;

г) об'єм пірамідиABCS;

д) площу основиABC пірамідиABCS;

е) довжину висотиSO,проведеної з вершиниSна основуABC.

4. Дано трикутник з вершинамиА(3; 1), В(6; 3), С(4; 6). Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої AM, яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висотиBF;

г) рівняння медіаниAD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок N і К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

4. Записати рівняння множини точок площини, сума відстаней кожної з яких від точок А(-2; 0) і B(2; 0) дорівнює 2 .

5. Нехай задано координати двох точок М₁(1;-3;2), М₂(4;3; 6), рівняння двох площин : х+у + +z-4 = 0, П₂: 3х + 2у +3z-5 = 0 та рівняння прямих :

а)написати рівняння прямої, що проходить через точкиМ₁ і М₂ та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими L₁і L₂;

в) через точку М₂ провести площину, паралельну площині П₂;

г) знайти гострий кут між площинами П₁ і П₂;

д) знайти відстань від точкиМ₁ до площини П₂;

е) через точку М₂ провести пряму, паралельну прямійL₂;

є) знайти гострий кут між прямою L₂ і площиною П₂;

ж) через точкуМ₁ провести пряму, перпендикулярну до площини П₁,і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точкуМ₁і перпендикулярна до площин П₁ і П₂;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин П₁ і П₂

9. Дано точки А(-2; 0) і B(3; 5). Записати рівняння кола, діаметром якого буде відрізок АВ.

10. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо рівняння асимптот її у = ± х і відстань між фокусами дорівнює 20.

Варіант № 12

1. Обчислити визначники:

a) ; б) .

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним:

3. Обчислити значення матричного многочлена А²-2АВ + 3(B-А + 2Е), якщо , .

4. Знайти ранг матриці

5. ТочкиА(2; 6; 5), B(1; 4; 5), С(5; 10; 3) і S(1;2;0) — вершини пірамідиABCS.Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки М перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершині Sпіраміди ABCS;

г) об'єм піраміди ABCS;

д) площу основи ABC піраміди ABCS;

е) довжину висоти SO,проведеної з вершини Sна основу ABC.

3. Дано трикутник з вершинами А(-2; 1), B(5; 2), С(0; -6). Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої AM, яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висоти BF;

г) рівняння медіани AD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок N і К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

4. 7. Нехай задано координати двох точок М₁(1; -2; 4), М₂(-1; 3; 0),рівняння двох площин : х-у+z+5 = 0, П₂: х - 2у +3z-1 = 0 та рівняння прямих :

а)написати рівняння прямої, що проходить через точкиМ₁ і М₂ та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими L₁і L₂;

в) через точку М₂ провести площину, паралельну площині П₂;

г) знайти гострий кут між площинами П₁ і П₂;

д) знайти відстань від точкиМ₁ до площини П₂;

е) через точку М₂ провести пряму, паралельну прямійL₂;

є) знайти гострий кут між прямою L₂ і площиною П₂;

ж) через точкуМ₁ провести пряму, перпендикулярну до площини П₁,і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точкуМ₁і перпендикулярна до площин П₁ і П₂;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин П₁ і П₂

8. Записати рівняння прямої, на якій лежить діаметр кола х² + y²-2x + 8y + 4 = 0 паралельний прямій х=у.

9. Записати рівняння еліпса, симетричного відносно осей Ох іОу, у якого відстань між фокусами дорівнює 5, а мала піввісь дорівнює 3.

10. Директриса параболи є пряма у = -2. Вершина знаходиться в початку координат. Записати рівняння параболи.

Варіант №13

1. Обчислити визначники:

a) ; б) .

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним:

3. Обчислити значення матричного многочленна В² + 3{А-В)-2ВА, якщо

4. Знайти ранг матриці .

5. Точки А(-2; 7; 4), В(-3; 5; 1), С(1;11;2) і S(-3;3;-1) — вершини пірамідиABCS.Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки М перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершиніSпірамідиABCS;

г) об'єм пірамідиABCS;

д) площу основиABC пірамідиABCS;

е) довжину висотиSO,проведеної з вершиниSна основуABC.

6. Дано трикутник з вершинами А(0; 1), В(6; -1), С(2; 3). Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої AM, яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висотиBF;

г) рівняння медіаниAD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок N і К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

7. Нехай задано координати двох точокМ₁(-2;1;4), М₂(6; 1; 3),рівняння двох площин :2х - 2у --z-10 = 0, П₂: 4х - 5у -10z- 20 = 0, та рівняння прямих

а)написати рівняння прямої, що проходить через точкиМ₁ і М₂ та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими L₁і L₂;

в) через точку М₂ провести площину, паралельну площині П₂;

г) знайти гострий кут між площинами П₁ і П₂;

д) знайти відстань від точкиМ₁ до площини П₂;

е) через точку М₂ провести пряму, паралельну прямійL₂;

є) знайти гострий кут між прямою L₂ і площиною П₂;

ж) через точкуМ₁ провести пряму, перпендикулярну до площини П₁,і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точкуМ₁і перпендикулярна до площин П₁ і П₂;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин П₁ і П₂

8. На еліпсі = 1 знайти точку, відстань від якої до право­го фокуса в чотири рази більша, ніж до лівого фокуса.

9. Скласти рівняння гіперболи, асимптоти якої у = х, а ексцентриситет .

10. На гіперболі х² -у² = 4 знайти точку, фокальні радіус-вектори якої перпендикулярні.

Варіант № 14

1. Обчислити визначники:

a) ; б) .

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним:

3. Обчислити значення матричного многочленна 7В-А² + 2AB – A, якщо ;

4. Знайти ранг матриці

5. Точки А( 1; 6; 3), В(-1; -6; 6), С(2; 14; 4) іS(-2;4; 1) — вершини пірамідиABCS.Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки М перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершиніSпірамідиABCS;

г) об'єм пірамідиABCS;

д) площу основиABC пірамідиABCS;

е) довжину висотиSO,проведеної з вершиниSна основуABC.

6. Дано трикутник з вершинами А(3; 6), В(5; 2), С(0; -6). Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої AM, яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висотиBF;

г) рівняння медіаниAD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок N і К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

7. Нехай задано координати двох точок М₁(l; 3; -І), М₂(6; 8; -4), рівняння двох площин :2х-у++2z-17 = 0, П₂: 6х +2у -3z-1 = 0, та рівняння прямих

а)написати рівняння прямої, що проходить через точкиМ₁ і М₂ та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими L₁і L₂;

в) через точку М₂ провести площину, паралельну площині П₂;

г) знайти гострий кут між площинами П₁ і П₂;

д) знайти відстань від точкиМ₁ до площини П₂;

е) через точку М₂ провести пряму, паралельну прямійL₂;

є) знайти гострий кут між прямою L₂ і площиною П₂;

ж) через точкуМ₁ провести пряму, перпендикулярну до площини П₁,і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точкуМ₁і перпендикулярна до площин П₁ і П₂;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин П₁ і П₂

8. Написати канонічне рівняння еліпса, у якого відстань між фокусами дорівнює 4, а мала піввісь дорівнює 3. Знайти фокуси, ексцентриситет і фокальні радіуси точки М(х;у).

9. Записати рівняння параболи, що проходить через точки (0; 0) і (2; -6), симетричної відносно осіОу. Записати рівняння директриси.

8. Записати рівняння гіперболи, вершини якої знаходяться у фокусах, а фокуси у вершинах еліпса

Варіант № 15

1. Обчислити визначники:

a) ; б)

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним:

3. Обчислити значення матричного многочленна В² - А² --3(А + В + 2Е) + АВ, якщо ,

4. Знайти ранг матриці

5. Точки А(7; 5; 4), B(5; -7; 7), С(8; 13; 5) іS(4; 3; 2) — вершини піраміди ABCS. Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки М перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершині Sпіраміди ABCS;

г) об'єм піраміди ABCS;

д) площу основи ABC піраміди ABCS;

е) довжину висоти SO,проведеної з вершини Sна основу ABC.

6.Дано трикутник з вершинами А(-2; 1), 5(5; 2), С(0; -6). Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої AM,яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висотиBF;

г) рівняння медіаниAD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок N і К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

3. Нехай задано координати двох точок М₁(-5; 4; 0), М₂(3; 11; 4), рівняння двох площин : 2х - 3у+z=0, П₂: х + 4у + 5z- 4 = 0, та рівняння прямих

а)написати рівняння прямої, що проходить через точкиМ₁ і М₂ та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими L₁і L₂;

в) через точку М₂ провести площину, паралельну площині П₂;

г) знайти гострий кут між площинами П₁ і П₂;

д) знайти відстань від точкиМ₁ до площини П₂;

е) через точку М₂ провести пряму, паралельну прямійL₂;

є) знайти гострий кут між прямою L₂ і площиною П₂;

ж) через точкуМ₁ провести пряму, перпендикулярну до площини П₁,і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точкуМ₁і перпендикулярна до площин П₁ і П₂;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин П₁ і П_2.

8.Записати рівняння кола, що проходить через початок координат, і через точки перетину прямої х+у+а=0 з колом х² + y²=a².

9.Записати канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що відстань між фокусами дорівнює 5, а мала піввісь дорівнює 3.

10.Знайти ексцентриситет гіперболи, асимптота якої утворює з дійсною віссю кут 60°

Варіант №16

1. Обчислити визначники:

a) ; б)

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами-Крамера, Гаусса та матричним:

3. Обчислити значення матричного многочленна 3(В-А) + 2АВ – (А + 2Е), якщо

4. Знайти ранг матриці

5. Точки А(5; 3; 7), 5(2;-8; 10), С(6;11;8) іS(2; 1; 5) - вершини піраміди ABCS.Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки М перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершині Sпіраміди ABCS;

г) об'єм піраміди ABCS;

д) площу основи ABC піраміди ABCS;

е) довжину висоти SO,проведеної з вершини Sна основу ABC.

6. Дано трикутник з вершинами А(-5; -1), В(9;-14) C(-9;3) Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої AM, яка паралельна стороні ВС

в) рівняння висоти BF;

г) рівняння медіани AD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок N і К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

7. Нехай задано координати двох точок М₁(3;5;-2), М₂(-4; 1;7), рівняння двох площин : 3х - у + +6z = 0, П₂: х -2у + 2 = 0, та рівняння прямих

а)написати рівняння прямої, що проходить через точкиМ₁ і М₂ та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими L₁і L₂;

в) через точку М₂ провести площину, паралельну площині П₂;

г) знайти гострий кут між площинами П₁ і П₂;

д) знайти відстань від точкиМ₁ до площини П₂;

е) через точку М₂ провести пряму, паралельну прямійL₂;

є) знайти гострий кут між прямою L₂ і площиною П₂;

ж) через точкуМ₁ провести пряму, перпендикулярну до площини П₁,і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точкуМ₁і перпендикулярна до площин П₁ і П₂;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин П₁ і П_2.

8. Дано точки А(-3; 0) і B(3; 6). Записати рівняння кола, діаметром якого служить відрізок АВ.

9. Еліпс, симетричний відносно осей координат, проходить через точки М(2 ; ) і А(6; 0). Записати його рівняння, знайти ексцентриситет і відстань від точки Мдо фокусів.

10. Записати рівняння параболи і її директриси, якщо парабола проходить через точки перетину прямої у= х і колаx²+ у²+ 6х = 0 і симетрична відносно осі Ох.

Варіант №17

1. Обчислити визначники:

a) ; б)

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами:Крамера, Гаусса та матричним:

3. Обчислити значення матричного многочленна 2АВ-А²+(В-А + 2Е), якщо ,

4. Знайти ранг матриці

5. Точки A(6; 4; 14), B(0; 4; 5), С(9; 0; 12) і S(5; 2; 9)- вершини піраміди ABCS. Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки М перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершині Sпіраміди ABCS;

г) об'єм піраміди ABCS;

д) площу основи ABC піраміди ABCS;

е) довжину висоти SO,проведеної з вершини Sна основу ABC.

6. Дано трикутник з вершинами А( 1; 1), B(14; 3), С(-4; 7)Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої AM, яка паралельна стороні ВС

в) рівняння висоти BF;

г) рівняння медіани AD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок N і К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

7. Нехай задано координати двох точок М₁ (3; 1; -2), М₂(6; 2;-2), рівняння двох площин :6х+2у-3z- 1= 0, П₂: х + у + z-1 = 0, та рівняння прямих

а)написати рівняння прямої, що проходить через точкиМ₁ і М₂ та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими L₁і L₂;

в) через точку М₂ провести площину, паралельну площині П₂;

г) знайти гострий кут між площинами П₁ і П₂;

д) знайти відстань від точкиМ₁ до площини П₂;

е) через точку М₂ провести пряму, паралельну прямійL₂;

є) знайти гострий кут між прямою L₂ і площиною П₂;

ж) через точкуМ₁ провести пряму, перпендикулярну до площини П₁,і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точкуМ₁і перпендикулярна до площин П₁ і П₂;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин П₁ і П_2.

8. Дано еліпс 4х² + 9у² = 36. Через точку (-2; 1) провести хорду, що ділиться в цій точці навпіл.

9. Записати рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі ординат, симетрично відносно початку і 2а = 16, а ексцентриситет дорівнює .

10. Записати рівняння параболи, що має вершину в точці (0; а), а фокус в точці (0; 2а).

Варіант №18

1. Обчислити визначники:

a) б)

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами:Крамера, Гаусса та матричним:

2. Обчислити значення матричного многочленна В + ЗАВ-7А² + 4(A-E), якщо

3. Знайти ранг матриці .

4. Точки А(0; 8; 7), B(-1; 6; 7), С(3; 12; 5) і S(-l; 4; 2)—вершини пірамідиABCS.Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки М перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершині 5 пірамідиABCS;

г) об'єм пірамідиABCS;

д) площу основиABC пірамідиABCS;

е) довжину висотиSO,проведеної з вершиниSна основуABC.

1. 6.Дано трикутник з вершинами А(-6;6), 5(18; -1), С(0; 3). Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої AM, яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висотиBF;

г) рівняння медіаниAD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок N і К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

7. Нехай задано координати двох точок М₁(3; -1; 2), М₂(1; 2; -4), рівняння двох площин : х-2у+z- 1= 0, П₂: 2х -у + 3z-3 = 0, та рівняння прямих

а)написати рівняння прямої, що проходить через точкиМ₁ і М₂ та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими L₁і L₂;

в) через точку М₂ провести площину, паралельну площині П₂;

г) знайти гострий кут між площинами П₁ і П₂;

д) знайти відстань від точкиМ₁ до площини П₂;

е) через точку М₂ провести пряму, паралельну прямійL₂;

є) знайти гострий кут між прямою L₂ і площиною П₂;

ж) через точкуМ₁ провести пряму, перпендикулярну до площини П₁,і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точкуМ₁і перпендикулярна до площин П₁ і П₂;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин П₁ і П_2.

8. Показати, що точка А(3; 0) лежить усередині кола х²+у²-4х + 2у + 1 = 0.

9. Для гіперболи у² = а² + х знайти координати її фокусів та кут між асимптотами.

10. Записати рівняння параболи, що проходить через точки (0; 0) і (-1; 2), симетричної відносно осі Ох.

Варіант № 19

1. Обчислити визначники:

a) ; б) .

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним:

3. Обчислити значення матричного многочленна АВ + 2{А + В) - ЗЕ,якщо

4. Знайти ранг матриці

5. Точки А(3; 3; 0), B(1; -9; 3), С(4; 11; 1) і S(0; 1; -2)— вершини піраміди ABCS.Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки М перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершині 5 піраміди ABCS;

г) об'єм піраміди ABCS;

д) площу основи ABC піраміди ABCS;

е) довжину висоти SO,проведеної з вершини S на основу ABC.

2. Дано трикутник з вершинами А(-2; 6), B(12; -1), С(-6; 2). Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої AM, яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висотиBF;

г) рівняння медіаниAD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок N і К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

7. Нехай задано координати двох точокМ₁ (2; -1; 7), М₂(4; 5; -2), рівняння двох площин :2х--3у+2z- 9= 0, П₂: 5х + 8у -z-7 = 0, та рівняння прямих

а)написати рівняння прямої, що проходить через точкиМ₁ і М₂ та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими L₁і L₂;

в) через точку М₂ провести площину, паралельну площині П₂;

г) знайти гострий кут між площинами П₁ і П₂;

д) знайти відстань від точкиМ₁ до площини П₂;

е) через точку М₂ провести пряму, паралельну прямійL₂;

є) знайти гострий кут між прямою L₂ і площиною П₂;

ж) через точкуМ₁ провести пряму, перпендикулярну до площини П₁,і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точкуМ₁і перпендикулярна до площин П₁ і П₂;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин П₁ і П_2.

8.Написати канонічне рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від точки (2; 0) і прямоїy = 2.

4. Знайти ексцентриситет еліпса, якщо відстань між фокусами дорівнює відстані між кінцями великої і малої півосей.

5. Написати канонічне рівняння гіперболи, якщо велика піввісьдорівнює 5, а ексцентриситет— .

Варіант № 20

1. Обчислити визначники:

a) б)

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним:

3. Обчислити значення матричного многочленна А² +3(А-В) + ВА + 2Е, якщо

4. Знайти ранг матриці

5. Точки А(4; 6; 7), В(-2; 6; -2), С(7; 2; 5) і S(3; 4; 2)— вершини пірамідиABCS.Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки М перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершиніSпірамідиABCS;

г) об'єм пірамідиABCS;

д) площу основиABC пірамідиABCS;

е) довжину висотиSO,проведеної з вершиниSна основуABC.

6. Дано трикутник з вершинами А(-8;3), В(6; -4), С(—12; 2). Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої AM, яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висотиBF;

г) рівняння медіаниAD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок N і К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC

7. Нехай задано координати двох точок М₁(1; 2; 1), М₂(2; 3; -2), рівняння двох площин :3х-5у+8z- 10= 0, П₂: 2х + z-11 = 0, та рівняння прямих

а)написати рівняння прямої, що проходить через точкиМ₁ і М₂ та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими L₁і L₂;

в) через точку М₂ провести площину, паралельну площині П₂;

г) знайти гострий кут між площинами П₁ і П₂;

д) знайти відстань від точкиМ₁ до площини П₂;

е) через точку М₂ провести пряму, паралельну прямійL₂;

є) знайти гострий кут між прямою L₂ і площиною П₂;

ж) через точкуМ₁ провести пряму, перпендикулярну до площини П₁,і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точкуМ₁і перпендикулярна до площин П₁ і П₂;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин П₁ і П_2.

8. Написати рівняння кола, центр якого міститься в фокусі параболи у² = 2рх і яке дотикається до її директриси.

9.Знайти спільні точки еліпса х² + 4у² = 4 і кола, що проходить через фокуси еліпса, а центр знаходиться в його нижній вершині.

10.Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі симетрично відносно початку координат, якщо дійсна піввісь дорівнює 8, а ексцентриситет - .

Варіант № 21

1. Обчислити визначники:

a) ; б)

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним:

2. Обчислити значення матричного многочленна АВ+ВА–2(B+A-3E)якщо ,

3. Знайти ранг матриці .

4. Точки А(6; 4; 11), B(0; 4; 2), С(9; 0; 9) і S(5; 2; 6) — вершини піраміди ABCS.Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки М перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершині Sпіраміди ABCS;

г) об'єм піраміди ABCS;

д) площу основи ABC піраміди ABCS;

е) довжину висоти SO,проведеної з вершини Sна основу ABC.

2. Дано трикутник з вершинами А(-9; 11), B(5; 4), С(-3; 8). Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої AM, яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висоти BF;

г) рівняння медіани AD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок N і К,що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

7. Нехай задано координати двох точок М₁(-1; 2; 3), М₂(0; 2; 1),рівняння двох площин :2х+2у-z- 4= 0, П₂: х –2y +2z+6 = 0, та рівняння прямих

а)написати рівняння прямої, що проходить через точкиМ₁ і М₂ та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими L₁і L₂;

в) через точку М₂ провести площину, паралельну площині П₂;

г) знайти гострий кут між площинами П₁ і П₂;

д) знайти відстань від точкиМ₁ до площини П₂;

е) через точку М₂ провести пряму, паралельну прямійL₂;

є) знайти гострий кут між прямою L₂ і площиною П₂;

ж) через точкуМ₁ провести пряму, перпендикулярну до площини П₁,і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точкуМ₁і перпендикулярна до площин П₁ і П₂;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин П₁ і П_2.

8. Знайти кут між радіусами кола x²+у²+4х -6у= =0, проведеними в точках перетину її з віссюОу.

9. Записати канонічне рівняння еліпса, директрисами якого будуть прямі х =± , а велика піввісь якого дорівнює 2.

10. Записати рівняння гіперболи, асимптоти якої у = ±х, а дире­ктриси х = ± .

Варіант № 22

1. Обчислити визначники:

a) ; б)

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним:

2. Обчислити значення матричного многочленна 3(В+А)-АВ+В²-3Е,якщо

3. Знайти ранг матриці .

4. Точки А(8; 5; 7), B(2; 5; -2), С( 11; 1; 5) іS(7;3; 2) — вершини пірамідиABCS.Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки М перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершиніSпірамідиABCS;

г) об'єм пірамідиABCS;

д) площу основиABC пірамідиABCS;

е) довжину висотиSO,проведеної з вершиниSна основуABC.

2. Дано трикутник з вершинами А(-2; 0),B(2; 4), С(4; 0). Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої AМ, яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висотиBF;

г) рівняння медіаниAD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок N і К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

Нехай задано координати двох точок М₁(1; -5; 3), М₂(5; -1; 17),рівняння двох площин : х- у+3z- 3= 0, П₂: 3х – 2y +z-12 = 0, та рівняння прямих

а)написати рівняння прямої, що проходить через точкиМ₁ і М₂ та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими L₁і L₂;

в) через точку М₂ провести площину, паралельну площині П₂;

г) знайти гострий кут між площинами П₁ і П₂;

д) знайти відстань від точкиМ₁ до площини П₂;

е) через точку М₂ провести пряму, паралельну прямійL₂;

є) знайти гострий кут між прямою L₂ і площиною П₂;

ж) через точкуМ₁ провести пряму, перпендикулярну до площини П₁,і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точкуМ₁і перпендикулярна до площин П₁ і П₂;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин П₁ і П_2.

8. Еліпс, симетричний відносно осей Ох іОу, проходить через точки М(2 ; ). Написати його рівняння.

9.Написати рівняння гіперболи з фокусами на осі Ох, якщо довжина її дійсної осі дорівнює 12, а ексцентриситет дорівнює .

10.Дана парабола у² = 16х. Записати рівняння параболи, яка в точці А(2; 3) ділиться навпіл.

Варіант № 23

1. Обчислити визначники:

a) б)

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним:

3. Обчислити значення матричного многочленна АВ-7В²+3(А+В-2Е), якщо

3. Знайти ранг матриці .

4. .Точки А(5; 9; 8), В(4; 7; 8), С(8; 13; 6) і S(4; 5; 3) — вершини пірамідиABCS.Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки М перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершиніSпірамідиABCS;

г) об'єм пірамідиABCS;

д) площу основиABC пірамідиABCS;

е) довжину висотиSO,проведеної з вершиниSна основуABC.

3. Дано трикутник з вершинамиA(-8; -2), В(2; 10), С(4; 4). Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої AM, яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висотиBF;

г) рівняння медіаниAD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок N і К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

7. Нехай задано координати двох точокМ₁(1; 4; 6), М₂(2; 1; -1), рівняння двох площин :2х-2у + z+1= 0, П₂: 2х +3y- 4z+ 2 = 0, та рівняння прямих

а)написати рівняння прямої, що проходить через точкиМ₁ і М₂ та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими L₁і L₂;

в) через точку М₂ провести площину, паралельну площині П₂;

г) знайти гострий кут між площинами П₁ і П₂;

д) знайти відстань від точкиМ₁ до площини П₂;

е) через точку М₂ провести пряму, паралельну прямійL₂;

є) знайти гострий кут між прямою L₂ і площиною П₂;

ж) через точкуМ₁ провести пряму, перпендикулярну до площини П₁,і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точкуМ₁і перпендикулярна до площин П₁ і П₂;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин П₁ і П_2.

8. Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від точкиF(4; 0) і від прямої у = 4.

9. Скласти рівняння еліпса з фокусами на осі Ох, якщо його велика вісь дорівнює 14, а ексцентриситет - .

10. Написати канонічне рівняння гіперболи засимптотами у = ± х, яка проходить через точку (-4; -2).

Варіант № 24

1. Обчислити визначники:

a) ; б)

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним:

3. Обчислити значення матричного многочленна А² -13(А + В)- ВА, якщо

4.Знайти ранг матриці .

5.Точки А(0; 8; 7), В(-1; 6; 7), С(3; 12; 5) іS(-1; 4; 2)— вершини пірамідиABCS.Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки М перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершиніSпірамідиABCS;

г) об'єм пірамідиABCS;

д) площу основиABC пірамідиABCS;

е) довжину висотиSO,проведеної з вершиниSна основуABC.

6.Дано трикутник з вершинами А(-7; 3), В{2; -1), С(-1; -5). Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої AM, яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висотиBF;

г) рівняння медіаниAD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок N і К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

7.Нехай задано координати двох точокМ₁(1; -2; -6), М₂(-1; 3; 2), рівняння двох площин :2х - 3у + 6z-4= 0, П₂: 6х +2у– 3z+ 2 = 0, та рівняння прямих

а)написати рівняння прямої, що проходить через точкиМ₁ і М₂ та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими L₁і L₂;

в) через точку М₂ провести площину, паралельну площині П₂;

г) знайти гострий кут між площинами П₁ і П₂;

д) знайти відстань від точкиМ₁ до площини П₂;

е) через точку М₂ провести пряму, паралельну прямійL₂;

є) знайти гострий кут між прямою L₂ і площиною П₂;

ж) через точкуМ₁ провести пряму, перпендикулярну до площини П₁,і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точкуМ₁і перпендикулярна до площин П₁ і П₂;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин П₁ і П_2.

8.У коло х² + у² = 4 вписано правильний трикутник, одна з його вершин має координати (0; 2). Записати рівняння сторін трикутника та координати двох інших вершин.

9.Знайти довжину відрізка прямої х + 4у - 28 = 0, що лежить всередині еліпса = 1.

10.Скласти рівняння гіперболи, якщо її вершини лежать у точках (-3; 0) і (3; 0), а фокуси в точках (-3 ; 0) і (3 ; 0).

Варіант № 25

a) б)

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним:

3. Обчислити значення матричного многочленна якщо

4. Знайти ранг матриці

5. Точки i вершини піраміди . Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки M перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершині S піраміди ABCS;

г) об'єм піраміди ABCS;

д) площу основи ABC піраміди ABCS;

е) довжину висоти SO, проведеної з вершини S на основу ABC

6. Дано трикутник з вершинами . Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої АМ,яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висоти BF;

г) рівняння медіани AD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок Ni К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

7. Нехай задано координати двох точок рівняння двох площин та рівняння прямих

а) написати рівняння прямої, що проходить через точки і , та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими і ;

в) через точку провести площину, паралельну площині ;

г) знайти гострий кут між площинами і ;

д) знайти відстань від точки до площини ;

е) через точку провести пряму, паралельну прямій ;

є) знайти гострий кут між прямою і площиною ;

ж) через точку провести пряму, перпендикулярну до площини і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точку і перпендикулярна до площин і ;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин і

8. Коло перетинає пряму

, внутрішній відрізок якої є стороною вписаного в коло прямокутни­ка. Записати рівняння сторін прямокутника.

9. Знайти довжину відрізка прямої , що лежить всередині еліпса

10. Дано гіперболу . Записати координати фокусів і вершин її, рівняння асимптот, ексцентриситет.

Варіант № 26

1. Обчислити визначники:

а) ; б) .

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним:

3. Обчислити значення матричного многочленна якщо A=

4. Знайти ранг матриці

5. Точки A(5; 10; 6), ), і — вер­шини піраміди . Знайти:

а) координати векторів , , , та їхні довжини;

б) координати точки перетину медіан трикутника ;

в) кути при вершині піраміди ;

г) об'єм піраміди ;

д) площу основи піраміди ;

е) довжину висоти , проведеної з вершини на основу .

6. Дано трикутник з вершинами , . Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої АМ,яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висоти BF;

г) рівняння медіани AD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок Ni К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

7. Нехай задано координати двох точок , рівняння двох площин та

рівняння прямих :

а) написати рівняння прямої, що проходить через точки і , та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими i ;

в) через точку провести площину, паралельну площині ;

г) знайти гострий кут між площинами і ;

д) знайти відстань від точки до площини ;

е) через точку провести пряму, паралельну прямій ;

є) знайти гострий кут між прямою і площиною ;

ж) через точку провести пряму, перпендикулярну до площини , і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точку , і перпендикулярна до площин ;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин .

8. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку

перпендикулярно до прямої .

9. Написати рівняння параболи, що проходить через точки i , симетрично відносно осі .

10. Написати рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо:

а) її осі і

б) відстань між фокусами , а вісь ;

в) вісь , ексцентриситет .