Обчислити визначники:
a)
;
б)
.
Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним:
Обчислити значення матричного многочленаB2– 2AB+ 3(A – B – E), якщо
,
.Знайти ранг матриці
Точки A(5; 4; 12), B(-1; 4; 3), С(8;0;10) і S(4;2;7) — вершини пірамідиABCS. Знайти:
а) координати векторів , , та їхні довжини;
б) координати точки М перетину медіан трикутника ABC;
в) кути при вершиніSпірамідиABCS;
г) об'єм пірамідиABCS;
д) площу основиABC пірамідиABCS;
е) довжину висотиSO,проведеної з вершини S на основуABC.
6 У трикутнику з вершинами А(1;-1), В(6;4),С(-2;2). Знайти:
а) довжину сторони АВ;
б) рівняння прямоїAM,яка паралельна стороні ВС;
в) рівняння висотиBF;
г) рівняння медіаниAD;
д) внутрішній кут трикутника ;
е) координати точок N і К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;
є) площу трикутника ABC.
Дано точки А(-2; 0) і 5(2; -1). На відрізкуOAпобудовано паралелограмOACD,діагоналі якого перетинаються в точці В. Записати рівняння сторін та діагоналей паралелограма.
Нехай задано координати двох точок (-3;4;2), М2(1;5; -6),рівняння двох площин : х- у+3z+1= 0, П2: 2х + 3у–z+ 3=0 та рівняння прямих
:
а) написати рівняння прямої, що проходить через точкиМ1 і М2 та знайти її напрямні косинуси;
б) знайти гострий кут між прямими L1і L2;
в) через точку М2 провести площину, паралельну площині П2;
г) знайти гострий кут між площинами П1 і П2;
д) знайти відстань від точкиМ1 до площини П2;
е) через точку М2 провести пряму, паралельну прямійL2;
є) знайти гострий кут між прямою L2 і площиною П2;
ж) через точкуМ1 провести пряму, перпендикулярну до площини П1,і визначити напрямні косинуси цієї прямої;
з) написати рівняння площини, що проходить через точкуМ1і перпендикулярна до площин П1 і П2;
и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин П1 і П2.
Записати канонічне рівняння еліпса, у якого відстань від одного із фокусів до кінців великої осі дорівнює 6 і 2.
Записати рівняння гіперболи, асимптоти якої = ±х, а директриси х=±
х.
Варіант №10
Обчислити визначники:
a)
;
б)
.
Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним:
Обчислити значення матричного многочленаA2 –4(BA-E)+ 5(A+ B), якщо
,
.Знайти ранг матриці .
Точки А(3; 5; 11), В(-3; 5; 2), С(6; 1; 9) іS(2;3;6) — вершини пірамідиABCS.Знайти:
а) координати векторів , , та їхні довжини;
б) координати точки М перетину медіан трикутника АВС\
в) кути при вершиніSпірамідиABCS;
г) об'єм пірамідиABCS;
д) площу основиABC пірамідиABCS;
е) довжину висотиSO,проведеної з вершиниSна основуABC.
У трикутнику з вершинами А(-2; 1), В(3; 6), С(5; 2). Знайти:
а) довжину сторони АВ;
б) рівняння прямої AM, яка паралельна стороні ВС;
в) рівняння висотиBF;
г) рівняння медіаниAD;
д) внутрішній кут трикутника ;
е) координати точок N і К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;
є) площу трикутника ABC.
Нехай задано координати двох точокМ1(4;0;-3), М2(-2; 5; 4), рівняння двох площин : 3х - у + +z - 5 = 0, П2: х + 2у – z+ 2 = 0 та рівняння прямих
:а)написати рівняння прямої, що проходить через точкиМ1 і М2 та знайти її напрямні косинуси;
б) знайти гострий кут між прямими L1і L2;
в) через точку М2 провести площину, паралельну площині П2;
г) знайти гострий кут між площинами П1 і П2;
д) знайти відстань від точкиМ1 до площини П2;
е) через точку М2 провести пряму, паралельну прямійL2;
є) знайти гострий кут між прямою L2 і площиною П2;
ж) через точкуМ1 провести пряму, перпендикулярну до площини П1,і визначити напрямні косинуси цієї прямої;
з) написати рівняння площини, що проходить через точкуМ1і перпендикулярна до площин П1 і П2;
и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин П1 і П2.
Записати рівняння кола, що проходить через точки перетину кола х2 + у2 + 4х - 4у = 0 з прямою у = -х і точку А (4; 4).
На гіперболі 9х2 - 16у2 = 144 знайти точку, відстань від якої до правого фокуса вдвічі менша, ніж до лівого.
Написати рівняння параболи, симетричної відносно осі Ох, що проходить через початок координат і точку М(1; -4).
Варіант №11