ДКРФІОТ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ «КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

Електронне навчальне видання

О.В. Чкалов, О.А. Бабаєв

АНАЛІТИЧНА ДИНАМІКА.

ДИНАМІКА ПЛОСКОПАРАЛЕЛЬНОГО РУХУ СИСТЕМИ ТВЕРДИХ ТІЛ

Методичні вказівки до виконання домашньої контрольної роботи для студентів напрямку підготовки 7.01050201, 8.01050201 — ―Комп'ютеризовані системи управління та автоматика‖

денної форми навчання

КИЇВ 2014

АНАЛІТИЧНА ДИНАМІКА. ДИНАМІКА ПЛОСКОПАРАЛЕЛЬНОГО РУХУ

СИСТЕМИ ТВЕРДИХ ТІЛ. Методичні вказівки до виконання домашньої контрольної роботи для студентів напрямку підготовки 7.01050201, 8.01050201 — ―Комп'ютеризовані системи управління та автоматика‖ денної форми навчання / Уклад. Чкалов О.В., Бабаєв О.А. – К.: НТУУ«КПІ», 2014, 37 с.

Електронне навчальне видання

Рекомендовано Вченою радою факультету авіаційних і космічних систем НТУУ «КПІ»

Протокол № 10 від 26.05.2014 р.

СПЕЦІАЛЬНІ РОЗДІЛИ МАТЕМАТИКИ – 3. «АНАЛІТИЧНА ДИНАМІКА»

ДИНАМІКА ПЛОСКОПАРАЛЕЛЬНОГО РУХУ СИСТЕМИ ТВЕРДИХ ТІЛ

Методичні вказівки до виконання домашньої контрольної роботи для студентів напрямку підготовки 7.01050201, 8.01050201 — ―Комп'ютеризовані системи управління та автоматика‖ денної форми навчання

КИЇВ НТУУ «КПІ» 2014

2

ЗМІСТ

ВСТУП……………………………………………………………………….…….4

1. МЕТОДИ ПОБУДОВИ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМИ ТВЕРДИХ ТІЛ ……………………………………………………………………8

1.1Застосування загальних теорем динаміки……….….…………………...…18

1.2Застосування загального рівняння динаміки…..…………………………..25 2. ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ……………………….…..29

3. ПОЛОЖЕННЯ ПРО РЕЙТИНГОВУ СИСТЕМУ ОЦІНЮВАННЯ УСПІШНОСТІ СТУДЕНТІВ……………………………………………………34

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЇ ЛІТЕРАТУРИ…………….………….……37

3

ВСТУП

В односеместровому курсі ‖Спеціальні розділи математики – 3.

Аналітична динаміка. Динаміка плоскопаралельного руху системи твердих тіл‖ для студентів спеціальності 7.01050201, 8.01050201 —

―Комп'ютеризовані системи управління та автоматика‖ відповідно до навчальної та робочої навчальної програм дисципліни вивчаються три розділи: кінематика, динаміка та елементи лагранжевої механіки. З

кредитного модуля студенти виконують домашню контрольну роботу (ДКР)

що складається з двох задач.

Представлені методичні вказівки присвячені виконанню ДКР з зазначеного модуля. При самостійній роботі в процесі пізнання лекційного матеріалу курсу за допомогою підручників та електронного конспекту лекцій студент повинен насамперед з’ясувати суть викладеного на лекціях матеріалу. Для цього після засвоєння теоретичного матеріалу варто розібратися в розв’язаннях типових задач, наведених спеціальній навчально-

методичній літературі, звертаючи особливу увагу на методичні вказівки до її розв’язання.

ДКР містить пояснювальну записку та необхідні креслення що виконується на аркушах формату А4. Варіант завдання визначається викладачем відповідно до списку групи.

ДКР складається з двох завдань:

Завдання №1 ― Застосування загальних теорем динаміки ―;

Завдання №2 ― Застосування загального рівняння динаміки ―.

Кожне з цих завдань в представлених методичних вказівках розглядається окремо, а саме: наведено короткі теоретичні відомості,

методика розв’язання задач, демонстраційні приклади з поясненнями. Також наведено варіанти завдань до індивідуального виконання ДКР.

В методичних вказівках розглядаються системи твердих тіл що є однією з основних моделей механіки. Різноманітні механізми машин та пристроїв, маніпуляторні роботи і навіть опорно-руховий апарат людини –

4

всі ці об’єкти в певному наближенні можуть бути промодельовані саме як системи зв’язаних абсолютно твердих тіл.

Математичною моделлю системи тіл буде певна система рівнянь, що пов’язують координати, швидкості, прискорення тіл та окремих їх точок із силами та моментами, що діють на тіла як зовні, так і з боку інших тіл системи. Таку систему рівнянь ми називаємо рівняннями руху системи тіл.

І перша задача, що постає при дослідженні динаміки системи – це побудова її математичної моделі, чи, висловлюючи конкретніше, складання рівнянь руху.

Набір правил та рекомендацій для складання рівнянь руху системи тіл визначає метод побудови математичної моделі. Само собою зрозуміло, що будь-який метод повинен забезпечити отримання фізично адекватної та математично конкретної системи рівнянь, що може бути ефективно розв’язана тим чи іншим математичним методом. Але поряд з цією абсолютною вимогою можна вказати цілу низку більш м’яких ‖побажань‖, як то

– універсальність методу, тобто можливість його застосування якщо не до будь-якої системи, то принаймні до досить широкого їх класу;

–адаптація до конкретних математичних методів;

–виключення з системи рівнянь ‖зайвих‖ змінних, явна згадка про які

відсутня в постановці задачі дослідження;

– можливість модифікації моделі без повної її перебудови при внесенні незначних змін в структуру досліджуваної системи;

– і ще багато інших………

Зміст таких побажань стає більш зрозумілим із набуттям досвіду, а їх набір постійно зростає по мірі розширення кола задач дослідження. Тому,

незважаючи на існування досить великої кількості ефективних методів побудови математичних моделей системи тіл, пошук нових методів не припиняється і сьогодні.

5

В даних методичних вказівках ми розглянемо застосування декількох методів побудови математичної моделі на прикладі дослідження руху відносно нескладної механічної передачі. Розв’язання однієї задачі двома методами, тобто з використанням теореми про зміну кінетичної енергії та рівняння Лагранжа другого роду, дає можливість оцінити переваги та недоліки кожного з них, дозволяючи в подальшому обирати раціональний метод відповідно до постановки конкретної задачі.

6

ЗРАЗОК ОФОРМЛЕННЯ ТИТУЛЬНОГО АРКУШУ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ «КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

Кафедра теоретичної механіки

ДОМАШНЯ КОНТРОЛЬНА РОБОТА НА ТЕМУ:

ДИНАМІКА ПЛОСКОПАРАЛЕЛЬНОГО РУХУ СИСТЕМИ ТВЕРДИХ ТІЛ

Виконав: студент(ка) (П.І.Б)

група, номер залікової книжки

Перевірив: (посада, вчене звання,

науковий ступінь) (П.І.Б.)

м. Київ -201_ р.

7

1. МЕТОДИ ПОБУДОВИ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ

СИСТЕМИ ТВЕРДИХ ТІЛ

Динамікою називається розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються механічні рухи матеріальних точок, систем і абсолютно твердих тіл під дією сил.

Як і в кожній природній науці, в механіці для вивчення найбільш суттєвих рис того чи іншого явища доводиться абстрагуватись від менш суттєвого, відкидати другорядне, тобто вводити абстракції. Першими такими абстракціями є поняття матеріальної точки, системи матеріальних точок і абсолютного твердого тіла.

Тіло, розмірами якого в умовах конкретної задачі можна нехтувати,

називається матеріальною точкою.

На відміну від геометричної точки, матеріальна точка наділена масою даного тіла, завдяки чому для неї характерні властивість інертності й здатність взаємодії з іншими матеріальними точками.

Системою матеріальних точок (механічною системою)

називається сукупність матеріальних точок, положення і рух кожної з яких залежить від положення і руху інших.

Наприклад, вивчаючи рух планет Сонячної системи, їх вважають матеріальними точками з відповідними масами, нехтуючи розмірами планет як незначними порівняно з віддаллю між ними. Всю Сонячну систему розглядають як систему матеріальних точок, між якими діють сили взаємного притягання.

Будь яке фізичне тіло у механіці уявляють як систему матеріальних точок.

Абсолютно твердим тілом називається таке тіло, у якому відстань між його точками залишається незмінною під дією на нього сил.

Механічний рух матеріальних об’єктів завжди треба розглядати відносно визначеної системи відліку. Він відбувається у просторі на

8

протязі часу. Надалі простір будемо вважати евклідовим тримірним простором, положення точки в якому визначається трьома незалежними параметрами або координатами в будь – якій системі відліку. Час в динаміці вважається універсальним, тобто він ніяк не зв’язаний з простором і рухом матеріальних об’єктів і визначається за будь-яким періодичним процесом, як, наприклад, обертання Землі навколо своєї осі, коливання маятника і т. і.

Простішим матеріальним об’єктом руху є матеріальна точка, яка знаходиться під дією сил.

Всі положення динаміки випливають з її основних законів (аксіом), які вперше були сформульовані І. Ньютоном в його праці ―Математичні початки натуральної філософії‖ у 1687 році. Ці закони справедливі у визначеної системі координат, яка називається інерціальною. В класичній механіці основною інерціальною системою звичайно вважають нерухому геліоцентричну систему координат, тобто систему координат з початком у центрі Сонця і осями, напрямленими до ―нерухомих‖ зірок. Ця система вважалася ―нерухомою‖ ще самим І. Ньютоном.

При розв’язуванні задач звичайно користуються такими координатними системами, прискорення точок яких відносно ―нерухомої‖ інерціальної системи є досить малими порівняно з прискореннями точок відносно систем координат, що розглядаються. Зокрема, при розв’язанні задач про рух елементів механізмів або машин, про які піде мова нижче,

можна з достатньою для практики точністю вибрати за умовно нерухому систему координат геоцентричну систему, тобто систему, незмінно зв’язану з Землею. Сформулюємо основні закони динаміки.

Перший закон – закон інерції

Ізольована матеріальна точка перебуває в стані прямолінійного рівномірного руху або спокою відносно інерціальної системи координат.

9

Ізольованою матеріальною точкою називаються точка , на яку не діють сили або діє зрівноважена система сил.

Рівномірний прямолінійний рух точки називається інерціальним рухом.

Закон інерції стверджує, що матеріальні тіла володіють властивістю інерції,

тобто властивістю зберігати свій рівномірний і прямолінійний рух відносно інерціальної системи координат, а прискорення є мірою відхилення руху точки від руху за інерцією. Властивість матеріальних точок зберігати стан руху називається інертністю.

Другий закон – основний закон Ньютона

Прискорення точки, відносно інерціальної системи координат,

пропорційно силі і напрямлено вздовж цієї сили:

maF

Додатній коефіцієнт пропорційності m , характеризує інерціальні властивості матеріальної точки і називається інертною масою цієї точки, або просто масою.

Другий закон є основним законом динаміки. Він дає змогу складати диференціальні рівняння руху матеріальної точки. З другого закону динаміки

(Ньютона) випливають загальні теореми динаміки матеріальної точки: про зміну кількості руху, кінетичної енергії і момента кількості руху.

Основний (другий) закон динаміки показує, що одиниці прискорення,

маси і сили пов’язані між собою, а тому їх не можна вибирати незалежно одна від одної. Але розмірність прискорення виражається через розмірності довжини і часу. Тому одиниці довжини, часу, маси і сили повинні визначатися з враховуванням основного (другого) закону динаміки. Отже,

незалежними з них є тільки три величини. В загальноприйнятої системі одиниць СІ за одиницю часу прийнята секунда (с), довжини – метр (м), маси

– кілограм (кг). Для них існують еталони. Одиниця сили – ньютон (Н) – є

10