Розділ 3 індивідуальні домашні завдання

Варіант № 1

1. Обчислити визначники:

а) ; б)

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним

3. Обчислити значення матричного многочлена якщо .

4. Знайти ранг матриці

5. Точки і вершини піраміди . Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки M перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершині S піраміди ABCS;

г) об'єм піраміди ABCS;

д) площу основи ABC піраміди ABCS;

е) довжину висоти SO, проведеної з вершини S на основу ABC .

6. У трикутнику з вершинами . Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої АМ,яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висоти BF;

г) рівняння медіани AD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок Ni К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

7. Нехай задано точки , площини та дві прямі

а) написати рівняння прямої, що проходить через точки і , та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими і ;

в) через точку провести площину, паралельну площині ;

г) знайти гострий кут між площинами і ;

д) знайти відстань від точки до площини ;

е) через точку провести пряму, паралельну прямій ;

є) знайти гострий кут між прямою і площиною ;

ж) через точку провести пряму, перпендикулярну до площини і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точку і перпендикулярна до площин і ;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин і

8. Знайти канонічне рівняння прямої

9. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі абс­цис симетрично відносно початку координат, якщо велика вісь еліпса дорівнює 16, а ексцентриситет .

10. Дана парабола . Записати рівняння хорди параболи,

яка в точці ділиться навпіл. Визначити довжину хорди пара­боли, яка проходить через фокус, перпендикулярно до осі.

Варіант № 2

1. Обчислити визначники:

а) б)

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним:

3. Обчислити значення матричного многочлена

якщо

4. Знайти ранг матриці

5. Точки — вершини піраміди . Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки M перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершині S піраміди ABCS;

г) об'єм піраміди ABCS;

д) площу основи ABC піраміди ABCS;

е) довжину висоти SO, проведеної з вершини S на основу ABC

6. Дано трикутник з вершинами . Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої АМ,яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висоти BF;

г) рівняння медіани AD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок Ni К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

7. Нехай задано точки , площини та дві прямі

а) написати рівняння прямої, що проходить через точки і , та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими і ;

в) через точку провести площину, паралельну площині ;

г) знайти гострий кут між площинами і ;

д) знайти відстань від точки до площини ;

е) через точку провести пряму, паралельну прямій ;

є) знайти гострий кут між прямою і площиною ;

ж) через точку провести пряму, перпендикулярну до площини і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точку і перпендикулярна до площин і ;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин і

8. Записати рівняння кола, що має центр у фокусі параболи , яке дотикається до її директриси.

9. Записати канонічне рівняння еліпса, знаючи, що відстань між фокусами дорівнює 8, а мала піввісь дорівнює 3. Знайти його ексцен­триситет.

10. Гіпербола, симетрична відносно осей координат, проходить через точку і має уявну піввісь 2. Записати рів­няння гіперболи і знайти відстань від точки Мдо фокусів.

Варіант № 3

1. Обчислити визначники:

а) б)

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним:

3. Обчислити значення матричного многочлена , якщо

4. Знайти ранг матриці

5. Точки — вер­шини піраміди . Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки M перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершині S піраміди ABCS;

г) об'єм піраміди ABCS;

д) площу основи ABC піраміди ABCS;

е) довжину висоти SO, проведеної з вершини S на основу ABC

6. Дано трикутник з вершинами . Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої АМ,яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висоти BF;

г) рівняння медіани AD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок Ni К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

7. Нехай задано координати точок рів­няння площин та два рівняння прямих

а) написати рівняння прямої, що проходить через точки і , та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими і ;

в) через точку провести площину, паралельну площині ;

г) знайти гострий кут між площинами і ;

д) знайти відстань від точки до площини ;

е) через точку провести пряму, паралельну прямій ;

є) знайти гострий кут між прямою і площиною ;

ж) через точку провести пряму, перпендикулярну до площини і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точку і перпендикулярна до площин і ;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин і

8. Знайти довжину хорди еліпса , що ділить кут між осями навпіл.

9. Написати рівняння параболи і її директриси, якщо парабола проходить через точки перетину прямої і кола і симетрична відносно осі .

10. Записати рівняння гіперболи, що має вершини в фокусах а

фокуси в вершинах еліпса

Варіант № 4

1. Обчислити визначники:

а) ; б) 

2. Розв'язати систему лінійних рівнянь, користуючись методами: Крамера, Гаусса та матричним:

3. Обчислити значення матричного многочлена якщо

4. Знайти ранг матриці

5. Точки — вершини піраміди . Знайти:

а) координати векторів , , та їхні довжини;

б) координати точки M перетину медіан трикутника ABC;

в) кути при вершині S піраміди ABCS;

г) об'єм піраміди ABCS;

д) площу основи ABC піраміди ABCS;

е) довжину висоти SO, проведеної з вершини S на основу ABC.

6. У трикутнику з вершинами . Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння прямої АМ,яка паралельна стороні ВС;

в) рівняння висоти BF;

г) рівняння медіани AD;

д) внутрішній кут трикутника ;

е) координати точок Ni К, що ділять більшу сторону трикутника на три рівні частини;

є) площу трикутника ABC.

7. Нехай задано координати точок , рів­няння площин та два рівняння прямих

а) написати рівняння прямої, що проходить через точки і , та знайти її напрямні косинуси;

б) знайти гострий кут між прямими і ;

в) через точку провести площину, паралельну площині ;

г) знайти гострий кут між площинами і ;

д) знайти відстань від точки до площини ;

е) через точку провести пряму, паралельну прямій ;

є) знайти гострий кут між прямою і площиною ;

ж) через точку провести пряму, перпендикулярну до площини і визначити напрямні косинуси цієї прямої;

з) написати рівняння площини, що проходить через точку і перпендикулярна до площин і ;

и) написати рівняння прямої, яка задається як лінія перетину площин і

8. Записати рівняння параболи, що має ексцентриситет , про­ходить через точки (0; 0) і(1;-3) та симетрична відносно осі . Знайти рівняння директриси.

9. Записати рівняння гіперболи, що має ексцентриситет ,

проходить через точку і симетрична відносно осей коор­динат.

10. Асимптота гіперболи утворює з віссю кут 60°.

Записати рівняння діаметра, спряженого з діаметромy .

Варіант № 5