3.9. Плоскость

Плоскость — это самая простая поверхность. Её общее уравнение имеет вид

Ах + Ву + Сz + D = 0,

где А, В, С, D — заданные числа.

При этом числа А, В, С являются координатами нормального (перпендикулярного плоскости) вектора .

Уравнение плоскости выводят с помощью положений векторной алгебры [2, гл. IV, п. 12.2]. Например, для плоскости, проходящей через три заданные точки М₁(x₁, y₁, z₁), М₂(x₂, y₂, z₂) и М₃(x₃, y₃, z₃), получают уравнение

(25)

Пример 18 [1, к задачам № 41-50, п. 2]

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1; –2; –1), В(2; 3; 0) и С(6; 2; 2).

Решение

Воспользуемся уравнением (25). За первую точку возьмём точку А, за вторую — точку В, за третью — точку С. В результате получим

или .

Разлагая определитель по элементам первой строки, получаем

,

или после преобразований уравнение .

Нормальным вектором этой плоскости будет вектор = (11; 2; –21).

Ответ:

11х + 2у – 21z – 28 = 0 — уравнение плоскости АВС;

= (11; 2;–21) — нормальный вектор.

3.10. Цилиндрические поверхности

Цилиндрической называют поверхность, образованную из параллельных прямых (образующих), которые пересекают заданную линию (направляющую) (рис. 17).

Рис 17. Изображение цилиндрической поверхности

Примечание. Название цилиндрической поверхности обычно определяется названием направляющей: эллиптический цилиндр, параболический цилиндр.

Особый интерес представляют цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям [2, гл. IV, п. 12.7].

1. Уравнение F(х, у) = 0 определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси 0z. Направляющая этой поверхности лежит в плоскости х0у. Её можно описать уравнениями

2. F(х, z) = 0 — цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси 0у.

3. F(у, z) = 0 — цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси 0х.

Таким образом, одно уравнение (23) в пространстве всегда определяет поверхность. Если же в этом уравнении отсутствует какая-либо переменная, то такое уравнение будет определять цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными той оси, название которой в уравнении отсутствует.

Пример 19 [1, к задачам № 51-60, п. 2]. Построить поверхность по уравнению у² – 4х = 0.

Решение

Это уравнение на плоскости х0у определяет параболу (рис. 18).

Рис. 18. Изображение уравнения у² = 4х на плоскости хОу (парабола)

В пространстве это же уравнение определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Оz (рис. 19). Направляющей этой поверхности является парабола, лежащая в плоскости х0у.

Рис. 19. Изображение уравнения у² = 4х в пространстве (цилиндр параболический)

3.11. Поверхности второго порядка

Поверхность называют поверхностью второго порядка, если её уравнение относительно прямоугольной системы координат является уравнением второго порядка, т.е. имеет вид

,

где .

Один частный случай такой поверхности (сфера, формула (24)) мы уже рассматривали. С каноническими уравнениями других поверхностей второго порядка можно познакомиться в [2 гл. IV, п. 12.9]. Надеемся, что после этого студент справится с оставшимися задачами № 51-60, п. d [1].