- •Оглавление
- •Введение
- •1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Понятие матрицы. Действия над матрицами
- •1.2. Понятие определителя
- •1.3. Решение систем линейных уравнений
- •2.2. Действия над векторами
- •2.3. Применения векторов
- •3. Аналитическая геометрия
- •3.1. Системы координат
- •3.2. Простейшие задачи на метод координат
- •3.3. Понятие уравнения линии на плоскости
- •3.4. Уравнения прямой линии на плоскости
- •3.5. Задачи на прямую на плоскости
- •3.6. Кривые второго порядка
- •3.7. Примеры на построение линий по их уравнениям
- •3.8. Понятие уравнения поверхности в пространстве
- •3.9. Плоскость
- •3.10. Цилиндрические поверхности
- •3.11. Поверхности второго порядка
- •3.12. Уравнения линии в пространстве
- •Список рекомендуемых источников
2.2. Действия над векторами
В предыдущем параграфе мы определили вектор как направленный отрезок. Однако вектор можно определять еще и с помощью координат. Это позволяет использовать в векторной алгебре законы алгебры и анализа. Координатами вектора называют проекции вектора на координатные оси [2, гл. II, п. 5.3, 5.4]. Вектор, имеющий координаты аx, аy, аz, можно записывать в двух равнозначных формах:
или
(9)
Выражение (9) называют разложением вектора по базисным векторам ( — единичные взаимно перпендикулярные векторы — базис в пространстве; — базис на плоскости).
Замечание. Если начало вектора находится в точке М1 (x1; y1; z1), а конец в точке М2 (x2; y2; z2), то вектор будет иметь координаты
. (10)
Пример 7 [1, к задачам № 21-30, п. 1]. Даны точки А(1; 6; 5) и В(3; 4; 5). Найти координаты вектора .
Решение
Принимая за начало вектора точку А, а за конец — точку В, по формуле (10) получим
Замечание. В координатной форме векторы считаются равными, если равны их соответствующие координаты, т.е.
Рассмотрим теперь, какие действия производятся над векторами и как они осуществляются. Следует только помнить, что эти действия можно выполнять как в векторной, так и в координатной формах. Все действия над векторами приведены в таблице 2.
Таблица 2
Действия над векторами
Название |
Определение в векторной форме |
Выражение в координатной форме |
1. Сложение векторов |
1) по правилу параллелограмма |
|
|
||
2) по правилу треугольника |
||
|
||
2. Вычитание векторов |
Как действие, обратное сложению:
|
|
|
||
3. Умножение вектора на число λ |
|
|
4. Скалярное произведение векторов |
|
|
5. Векторное произведение векторов |
|
|
6. Смешанное произведение векторов |
|
|
Пример 8 [1, к задачам № 21-30]. Даны векторы:
Найти:
Решение
Векторы заданы в виде разложений по базисным векторам. Найдем их координаты:
Выполним вышеуказанные действия над векторами, учитывая, что векторы заданы координатами. Используя таблицу 2, получим:
2.3. Применения векторов
Рассмотренные операции над векторами, а также получающиеся из них следствия широко используют в практике (табл. 3).
Таблица 3
Основные применения векторов
Словесное название |
Выражение в |
1 |
2 |
1. Длина вектора — длина отрезка |
|
2. Единичный вектор — орт вектора |
|
3. Угол между векторами
|
|
4. Условие |
|
5. Условие |
|
6. Условие компланарности векторов
|
|
Продолжение таблицы 3
1 |
2 |
7. Площадь параллелограмма S, построенного на векторах (SΔ = S) |
|
8. Объем параллелепипеда Vпаралл, построенного на векторах |
|
Пример 9 [1, к задачам № 21-30]. Даны координаты вершин пирамиды ДАВС: А (1; 2; –1), В (0; 1; 5), С (–1; 2; 1), Д (0; 1; 6). Средствами векторной алгебры найти:
1) координаты векторов
2) длину вектора
3) площадь грани АВС;
4) объем пирамиды ДАВС.
Решение
1. Сначала найдем координаты векторов . Как и в примере 7, по формуле (10) получим:
2. Найдем теперь координаты вектора Для этого воспользуемся 1, 2, 3 пунктами таблицы 2. Тогда получим:
Для определения длины вектора можно воспользоваться результатом пункта 1 из таблицы 3:
3. Угол между векторами найдем, используя п. 3 табл. 3:
4. Площадь грани АВС (см. п. 7, табл. 3,) равна:
Так как
то с учетом п. 1 табл. 3 получим
А площадь грани (ед.2).
5. Объем пирамиды ДАВС (см. п. 8 табл. 3) равен
Найдем смешанное произведение (см. п. 8 табл. 2):
Объем пирамиды .
Контрольные вопросы
1. Дайте понятие базиса на плоскости и в пространстве.
2. Дайте понятие координат вектора на плоскости и в пространстве.
3. Что такое скалярное произведение векторов? Где оно применяется?
4. Дайте определение векторного произведения векторов и укажите, где его применяют.
5. Дайте определение смешанного произведения векторов и укажите, где его применяют.