- •22 Кафедра математического анализа
- •Глава 1. Дифференциальные уравнения
- •§1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Уравнение вида
- •§2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия
- •§3. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •§4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •§ 5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •§6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •§7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Задания для самостоятельного решения
§6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка
, |
(30) |
где - вещественные числа.
Теорема 1. 1) Если число - вещественный корень уравнения
, |
(31) |
то функция является решением уравнения (30).
2) если числа и ( ) – комплексные корни уравнения (31), то функции и являются решениями уравнения (30).
Уравнение (31) называется характеристическим уравнением данного уравнения (30).
Характеристическое уравнение (31) является квадратным уравнением и, следовательно, имеет два корня. Обозначим их и .
Теорема 2. 1) Если корни характеристического уравнения вещественные и различные , то общее решение уравнения (30) имеет вид
;
2) если корни характеристического уравнения вещественные и равные , то общее решение имеет вид
;
3) если корни характеристического уравнения комплексные , , , то общее решение имеет вид
.
Пример 1. Найти общее решение уравнения .
Характеристическое уравнение имеет вид ; его корни вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения . Общее решение уравнения имеет вид .
Пример 2. Найти общее решение уравнения .
Характеристическое уравнение имеет вид ; его корни вещественные и равные. Соответствующие частные решения уравнения . Общее решение уравнения имеет вид .
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
Характеристическое уравнение имеет вид ; его корни комплексные. Соответствующие частные решения уравнения . Общее решение уравнения имеет вид .
Контрольные вопросы:
Какой вид имеет общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных различных корней характеристического уравнения?
Какой вид имеет общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае равных корней характеристического уравнения?
Какой вид имеет общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения?
§7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим неоднородное линейное уравнение второго порядка
, |
(32) |
где и - вещественные числа; - непрерывная функция.
Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Так как общее решение однородного уравнения мы находить умеем, поэтому остается рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Для нахождения частного решения можно применять метод вариации произвольных постоянных. Однако если в правой части уравнения (32) – многочлен, либо показательная функция, либо тригонометрическая функция или , либо линейная комбинация перечисленных функций, то частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования.
Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (32).
1)Правая часть имеет вид
,
где - многочлен степени . Тогда частное решение можно искать в виде
,
где - многочлен той же степени, что и , а - число корней характеристического уравнения, равных нулю.
Пример 1. Найти общее решение уравнения .
Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид (см. пример 2 в §6). Так как правая часть уравнения - многочлен первой степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю , то частное решение ищем в виде
,
где и - неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды и подставляя в данное уравнение, найдем
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства: , находим: . Итак, частное решение данного уравнения имеет вид а его общее решение
.
2) Правая часть имеет вид
,
где - многочлен степени . Тогда частное решение следует искать в виде
,
где - многочлен той же степени, что и , а - число корней характеристического уравнения равных . Если , то , т.е. имеет место случай 1).
Пример 2. Найти общее решение уравнения .
Характеристическое уравнение имеет корни . Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид . В правой части этого уравнения - произведение многочлена первой степени на показательную функцию при . Так как среди корней характеристического уравнения имеется только один корень . В данном случае - многочлен первой степени. Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде
.
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в общих частях равенства: , находим . Подставляя найденные значения и в выражение для , получаем частное решение данного уравнения ; общее решение имеет вид
.
3) Правая часть имеет вид
,
где a, b и - известные числа. Тогда частное решение надо искать в виде
,
где А и В – неизвестные коэффициенты, а r – число корней характеристического уравнения, равных .
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
Характеристическое уравнение имеет корни , . Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения . В правой части равенства – тригонометрическая функция , т. е. , , . Так как - корень характеристического уравнения, то и частное решение надо искать в виде
.
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
,
откуда , . Таким образом, частное решение ; общее решение уравнения
.
4) Правая часть имеет вид
,
где - многочлен степени , а - многочлен степени . Тогда частное решение следует искать в виде
,
где и - многочлены степени - число корней характеристического уравнения, равных .
Пример 4. Найти общее решение уравнения .
Здесь характеристическое уравнение имеет корни , и . Общее решение однородного уравнения таково: . В правой части уравнения - произведение многочлена нулевой степени, показательной и тригонометрической функций, так что . Число не является корнем характеристического уравнения, поэтому , и частное решение ищем в виде
.
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
.
Приравнивая коэффициенты при , находим
,
откуда Таким образом, частное решение , а общее решение уравнения
.
Теорема. Если - решение уравнения
,
а - решение уравнения
,
то сумма является решением уравнения
.
Пример 5. Найти общее решение уравнения .
Характеристическое уравнение имеет корни , поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения .
Так как правая часть уравнения состоит из суммы двух функций и , то в соответствии с выше приведенной теоремой частное решение данного уравнения можно искать в виде
,
где - частное решение уравнения , а - частное решение уравнения .
Сначала найдем частное решение . Так как число не является корнем характеристического уравнения , то частное решение будем искать в виде . Подставляя , и в уравнение и сравнивая коэффициенты при и , получаем , откуда и, следовательно, .
Теперь найдем частное решение . Будем его искать в виде , так как число не является корнем характеристического уравнения. Подставляя , и в уравнение , имеем . Следовательно, .
Таким образом, частное решение данного уравнения имеет вид
,
а общее решение этого уравнения
.
Контрольные вопросы:
В каком виде ищем частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид , где - многочлен степени ?
В каком виде ищем частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид , где - многочлен степени п?
В каком виде ищем частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид , а, b и β – числа?
В каком виде ищем частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид ?