22 Кафедра математического анализа
Методические указания по математике для самостоятельной работы студентов специальности «Геология»
Глава 1. Дифференциальные уравнения
§1 Дифференциальные уравнения первого порядка
Основные понятия
Уравнения вида
|
(1) |
,где
- независимая переменная;
- искомая функция;
- ее производная, называется дифференциальным
уравнением первого порядка.
Если уравнение (1)
можно разрешить относительно
,
то оно принимает вид
|
(2) |
и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Решением
дифференциального уравнения первого
порядка
называется функция
,
,
которая при подстановке в уравнение
обращает его в тождество.
Так, например, функция
,
является решением уравнения
.
Находим производную функции
:
и подставляем функцию
и ее производную в уравнение
.
.
При подстановке получили тождество.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Теорема (Коши).
Если функция
и ее частная производная
определены и непрерывны в некоторой
области
плоскости
,
то какова бы ни была внутренняя точка
области
,
в некоторой окрестности этой точки
существует единственное решение
уравнения
,
удовлетворяющее условиям:
|
(3) |
.Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения (2) решать вопрос о существовании и единственности его решения.
Условия
(3), в силу которых функция
принимает заданное значение
в заданной точке
,
называют начальными
условиями решения.
Отыскание решения уравнения (2), удовлетворяющего начальным условиям (3), называется задачей Коши.
Общим
решением уравнения (2)
в некоторой области
плоскости
называется функция
,
зависящая от
и произвольной постоянной
,
если она является решением у равнения
(2) при любом значении постоянной
,
и если при любых начальных условиях (3)
таких, что
,
существует единственное значение
постоянной
такое, что функция
удовлетворяет данным начальным условиям
.
Частным решением уравнения (2) в области называется функция , которая получается из общего решения при определенном значении постоянной .
Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости , зависящее от одной произвольной постоянной , а частное решение - одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку .
Пример 1.
Рассмотрим уравнение
.
Данное уравнение
является дифференциальным уравнением
первого порядка. Оно удовлетворяет всем
условиям теоремы Коши, так как функции
определены и непрерывны на всей плоскости
.
Проверим, что функция
,
где
- произвольная постоянная, является
общим решением данного уравнения во
всей плоскости
.
Геометрически
это общее решение представляет собой
семейство кубических парабол. При
различных значениях постоянной
получаем различные решения данного
уравнения. Например, если
,
то
,
если
,
то
,
если
,
то
.
Для
решения какой-нибудь задачи Коши, т.е.
отыскания частного решения, зададим
произвольные начальные условия:
,
.
Подставляя эти значения в общее решение
вместо
и
,
получаем
,
откуда
.
Таким образом, найдено частное решение
.
Геометрически это означает, что из
семейства кубических парабол
выбрана одна, проходящая через заданную
точку
(рис 1).
Рис. 1
Геометрический смысл уравнения
Пусть
дано дифференциальное уравнение первого
порядка
и пусть функция
- его решение. График решения представляет
собой непрерывную интегральную кривую,
через каждую точку которой можно провести
касательную. Из уравнения следует, что
угловой коэффициент
касательной к интегральной кривой в
каждой ее точке
равен значению в этой точке правой части
уравнения
.
Таким образом, уравнение
устанавливает зависимость между
координатами точки
и угловым коэффициентом
касательной к графику интегральной
кривой в той же точке. Зная
и
,
можно указать направление касательной
к этой интегральной кривой в точке
.
Сопоставим каждой точке интегральной кривой направленный отрезок, угловой коэффициент которого равен . Получим так называемое поле направлений данного уравнения, раскрывающее геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.
Итак, с геометрической точки зрения уравнение определяет на плоскости поле направлений, а решение этого уравнения – интегральная кривая, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке.
Построив на плоскости поле направлений данного дифференциального уравнения, можно приближенно построить интегральные кривые.
Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение вида
|
(4) |
,где
и
- непрерывные функции, называется
дифференциальным
уравнением с разделяющимися переменными.
Для
отыскания решения уравнения (4) нужно
разделить в нем переменные. Для этого
заменим в (4)
на
,
разделим обе части уравнения на
(предполагаем
)
и умножим на
.
Тогда уравнение (4) принимает вид
.
В этом уравнении переменная х входит только в правую часть, а переменная у - только в левую.
Пример
2. Решить
уравнение
|
(*) |
.Данное
уравнение вида (4), где
и
.
Разделяя переменные, получаем:
.
Интегрируя, имеем
,
.
Потенцируя,
находим:
,что
эквивалентно уравнению
.
Полагая
,
получаем
– общее
решение уравнения (*). Заметим, что
также решение уравнения (*).
Линейные уравнения первого порядка