- •22 Кафедра математического анализа
- •Глава 1. Дифференциальные уравнения
- •§1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Уравнение вида
- •§2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия
- •§3. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •§4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •§ 5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •§6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •§7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Задания для самостоятельного решения
Уравнение вида
, |
(5) |
где и - непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Если , то уравнение (5) называется линейным однородным уравнением. Если , то уравнение (5) называется линейным неоднородным уравнением.
Для нахождения общего решения уравнения (5) может быть применен метод вариации постоянной.
В этом методе сначала находят общее решение линейного однородного уравнения
, |
(6) |
соответствующего данному неоднородному уравнению (5). Уравнение (6) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем
, .
Отсюда, потенцируя, находим общее решение уравнения (6):
, или , |
(7) |
где - произвольная постоянная.
Теперь найдем общее решение уравнения (5) в виде (7), где будем считать не постоянной, а новой неизвестной функцией от , т.е. в виде
. |
(8) |
Чтобы найти функцию и, тем самым, решение в виде (8), подставим функцию (8) в уравнение (5). Получим
или
. |
(9) |
Итак, чтобы функция (8) являлась решением уравнения (5), функция должна удовлетворять уравнению (9). Интегрируя его, находим
,
где - произвольная постоянная. Подставляя найденное выражение для в соотношение (8), получаем общее решение линейного уравнения (5):
. |
(10) |
При решении конкретных примеров проще повторять каждый раз все приведенные выше выкладки, чем использовать громоздкую формулу (10).
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
Данное уравнение является линейным. Здесь , . Решаем сначала соответствующее однородное уравнение . Разделяя переменные и интегрируя, находим
или .
Ищем общее решение уравнения в виде . Дифференцируя, имеем . Подставляя в данное уравнение выражения для и , получаем
или ,
откуда , где - произвольная постоянная. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
или .
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение вида
, |
(11) |
где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции в некоторой области , называется уравнением в полных дифференциалах.
Если уравнение (11) является уравнением в полных дифференциалах, то его можно записать следующим образом:
,
где - такая функция, что .
Нахождение решения уравнения (11) сводится к отысканию такой функции , дифференциал которой равен .
Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы
. |
(12) |
Допустим, что условие (12) выполнено. Тогда существует функция такая, что . Отсюда
, . |
(13) |
Интегрируя соотношение по , находим
, |
(14) |
где - произвольная функция от . Теперь подберем функцию так, чтобы выполнялось второе из соотношений (13). Для этого продифференцируем правую часть равенства (14) по и производную приравняем :
. |
(15) |
Из полученного уравнения (15) определяем и, интегрируя, находим . Подставляя найденную функцию в соотношении (14), получаем искомую функцию .
Чтобы выделить из общего решения частное, удовлетворяющее начальным условиям , надо в общем решении и заменить начальными значениями. Тогда и - искомое частное решение.
Пример 4. Найти общее решение уравнения и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
Здесь , . Так как
,
то выражение является полным дифференциалом некоторой функции . Имеем
.
|
(16) |
Найдем функцию , используя формулу (15):
;
; ,
.
Подставляя найденное в (16), получаем
.
Данное уравнение принимает вид , а его общее решение определяется уравнением
.
Полагая ( ), получаем окончательное уравнение, определяющее неявно общее решение исходного дифференциального уравнения
.
Найдем теперь значение постоянной , при котором частное решение удовлетворяет заданным начальным условиям. Имеем: , откуда , и искомое частное решение определяется уравнением
.
Контрольные вопросы:
Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка.
Что называется решением дифференциального уравнения первого порядка?
Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.
В чем заключается задача Коши?
Дайте определение общего и частного решений дифференциального уравнения первого порядка.
В чем заключается геометрический смысл дифференциального уравнения?
Что представляет собой геометрически общее решение уравнения?
Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка.
Дайте определение дифференциального уравнения в полных дифференциалах.