§2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия

Уравнение вида

,

где - независимая переменная; - искомая функция; - ее производные, называется дифференциальным уравнением n–го порядка.

Обычно изучают уравнения, которые могут быть записаны в виде, разрешенном относительно старшей производной

.

(17)

Решением уравнения (17) называется функция , , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения называется интегральной кривой.

Теорема (Коши). Если функция и ее частные производные ,…, определены и непрерывны в некоторой области пространства переменных то какова бы ни была внутренняя точка области , в некоторой окрестности точки существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее условиям

…, при .

(18)

Условия (18) называют начальными условиями решения.

Как и для уравнения первого порядка, задачу отыскания решения по заданным начальным условиям называют задачей Коши.

Функция , зависящая от и n произвольных постоянных ,…, , называется общим решением уравнения (17) в некоторой области , если она является решением уравнения (17) при любых значениях постоянных ,…, и если при любых начальных условиях (18) существуют единственные значения постоянных ,…, такие, что функция удовлетворяет данным начальным условиям.

Любая функция , получающаяся из общего решения уравнения (17) при определенных значениях постоянных ,…, , называется частным решением.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение дифференциального уравнения n-го порядка.

2. Что называется решением дифференциального уравнения n-го порядка?

3. Дайте определение общего решения дифференциального уравнения n-го порядка.

4. Что называется частным решением дифференциального уравнения n-го порядка?

5. Что называется задачей Коши?

§3. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Уравнение вида

(19)

называется дифференциальным уравнением второго порядка, разрешенным относительно производной.

Рассмотрим три частных случая, когда решение уравнения (19) с помощью замены переменной сводится к решению уравнения первого порядка. Такое преобразование уравнения (19) называется понижением порядка.

1) Уравнение вида . Уравнение не содержит и . Введем новую функцию , полагая . Тогда , и уравнение превращается в уравнение первого порядка: с искомой функцией . Решая его, находим: . Так как , то .

Отсюда, интегрируя еще раз, получаем искомое решение:

,

где и - произвольные постоянные.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Полагая , получаем уравнение первого порядка . Интегрируя его, найдем . Заменяя на и интегрируя еще раз, находим искомое общее решение:

.

2) Уравнение вида . Уравнение не содержит . Положим, как и в предыдущем случае, ; тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка относительно : . Решая его, найдем . Так как , то . Отсюда, интегрируя еще раз, получаем искомое решение

,

где и - произвольные постоянные.

Пример 2. . Найти общее решение уравнения .

Полагая , получаем линейное уравнение первого порядка . Решая его, найдем . Тогда - искомое решение.

3) Уравнение вида . Уравнение не содержит . Вводим новую функцию , полагая . Тогда

.

Подставляя в уравнение выражения для , получаем уравнение первого порядка относительно как функции от :

.

Решая его, найдем . Так как , то . Отсюда . Получено уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение данного уравнения:

,

где - произвольные постоянные.

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Полагая и учитывая, что , получаем . Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к виду и интегрируя, имеем , откуда . Учитывая, что , находим: , откуда получаем искомое решение

или .

При сокращении на было потеряно решение уравнения , т.е. . В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при (за исключением решения ).