- •2. Дифференцирование функции одной переменной
- •3. Интегральное исчисление
- •3.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1. Непосредственное интегрирование.
- •2. Метод подстановки.
- •3. Метод интегрирования по частям.
- •3.2. Определенный интеграл
- •Формулы площадей плоских фигур.
- •2. Формулы объемов тел вращения.
- •4. Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике
- •5. Основы теории вероятностей
- •Виды случайных событий
- •Полная группа событий
- •Исходы испытания
- •Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •6. Случайные величины и их числовые характеристики
- •6.1. Дискретная случайная величина
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Решение:
- •6.2. Непрерывная случайная величина
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины Математическое ожидание
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Решение:
- •6.3. Нормальное распределение непрерывной случайной величины (закон Гаусса)
- •7. Элементы математической статистики
- •Оценка параметров генеральной совокупности
- •Литература
- •Содержание
6. Случайные величины и их числовые характеристики
Величина, принимающая свои значения в зависимости от исходов некоторого испытания, причем для каждого элементарного исхода имеющая одно единственное значение, называется случайной.
6.1. Дискретная случайная величина
Величина, принимающая отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями называется дискретной случайной величиной.
Числовые характеристики дискретной случайной величины
Математическое ожидание
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на соответствующие им вероятности:
Свойства математического ожидания
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
, где .
Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий этих величин:
.
Следствие. Если , то
3. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
, где .
4. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях (математическое ожидание биноминального распределения) равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: .
Дисперсия
Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания: .
Для вычисления дисперсии также можно использовать следующую формулу:
,
т.е. дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом её математического ожидания.
Свойства дисперсии
Дисперсия постоянной величины равна нулю: , .
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: , .
Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: .
Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: .
Если , то .
Замечание 2. Для вычисления дисперсии биноминального распределения можно воспользоваться следующей формулой: , где – число испытаний; – вероятность осуществления события в одном испытании; – вероятность осуществления события (противоположного событию ) в одном испытании.
Среднее квадратическое отклонение
Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии: .
Замечание 3. На основании данного определения для обозначения дисперсии часто используется символ .
Пример 1. Задан закон распределения дискретной случайной величины :
-
X
10
30
50
70
90
P
0,1
0,2
0,1
0,2
0,4
Найти:
1) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение ;
2) составить функцию распределения случайной величины и построить ее график;
3) вычислить вероятности попадания случайной величины в интервал , пользуясь составленной функцией распределения ;
4) составить закон распределения случайной величины ;
5) вычислить математическое ожидание и дисперсию составленной случайной величины двумя способами: пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, а также непосредственно по закону распределения случайной величины .