5. Основы теории вероятностей

Теория вероятностей – раздел математики, где изучаются закономерности случайных событий.

Теория вероятностей должна давать количественное измерение вероятностей случайных явлений и построение на этой основе математической модели наблюдаемых случайных эмпирических соотношений.

Испытание и событие

В природе и повседневной жизни часто приходится сталкиваться случайными явлениями, т. е. с ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть. Процесс познания действительности в этом случае осуществляется в результате наблюдений или испытаний (экспериментов).

Под испытанием (наблюдением) понимается любой доступный частому повторению процесс, протекающий при реализации заданного комплекса условий.

Результат, или исход испытания называется событием.

Виды событий

Различают три вида событий: случайные, достоверные и невозможные.

Событие, которое при реализации заданного комплекса условий может произойти, а может и не произойти, называется случайным.

Событие, которое неизбежно происходит при каждой реализации заданного комплекса условий, называется достоверным.

Событие, которое заведомо не может произойти при реализации заданного комплекса условий, называется невозможным.

Виды случайных событий

Случайные события подразделяются на следующие виды: равновозможные, несовместные и совместные.

Два или несколько случайных событий называются равновозможными, если условия их появления одинаковы и нет основания утверждать, что какое-либо из них в результате испытания имеет больше шансов осуществиться, чем другие.

События называются несовместными, если в результате испытания осуществление одного из них исключает осуществление остальных.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Полная группа событий

Если в результате испытания обязательно осуществится одно и только одно из несовместных событий , то эти события называются полной группой событий.

Два несовместных события, образующие полную группу событий, называются противоположными.

Исходы испытания

Несовместные события, имеющие одинаковую возможность осуществиться, называются исходами испытания.

Исходы называются благоприятными для события , если осуществление любого из исходов является вместе с тем осуществлением события .

Операции над событиями

Определение. Если при каждом осуществлении заданного комплекса условий, при котором происходит событие , происходит и событие , то говорят, что влечёт за собой , и обозначают символом или .

Если влечет за собой и в то же время влечёт за собой , т.е. события и оба наступают или оба не наступают, то говорят, что события и равносильны, и обозначают символом .

Событие, состоящее в наступлении обоих событий и , называется произведением (или пересечением) событий и , и обозначается символом или .

Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий и , (возможно, двух сразу), называется суммой (или объединением) событий и , и обозначается символом или

Событие, состоящее в том, что событие происходит, а событие не происходит, называется разностью событий и , и обозначается символом или .

Достоверное событие обозначают с помощью символа , а невозможное – с помощью символа .

Событие, противоположное событию , обозначают с помощью символа .

Определение суммы и произведения двух событий обобщается на любое число событий.

Понятие вероятности