- •2. Дифференцирование функции одной переменной
- •3. Интегральное исчисление
- •3.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1. Непосредственное интегрирование.
- •2. Метод подстановки.
- •3. Метод интегрирования по частям.
- •3.2. Определенный интеграл
- •Формулы площадей плоских фигур.
- •2. Формулы объемов тел вращения.
- •4. Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике
- •5. Основы теории вероятностей
- •Виды случайных событий
- •Полная группа событий
- •Исходы испытания
- •Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •6. Случайные величины и их числовые характеристики
- •6.1. Дискретная случайная величина
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Решение:
- •6.2. Непрерывная случайная величина
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины Математическое ожидание
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Решение:
- •6.3. Нормальное распределение непрерывной случайной величины (закон Гаусса)
- •7. Элементы математической статистики
- •Оценка параметров генеральной совокупности
- •Литература
- •Содержание
2. Формулы объемов тел вращения.
Рассмотрим некоторое тело и вычислим его объем. Допустим, что известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными оси Ох. С изменением х площадь сечения также будет изменяться, т. е. являться некоторой функцией х. Обозначим эту функцию через S(x) и будем считать ее непрерывной функцией на отрезке [a, b]. Тогда объем тела
В частном случае, когда тело образовано вращением вокруг оси Ox и криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией , объем тела вращения вычисляется по формуле
(3)
Если криволинейная трапеция вращает вокруг оси Oy, то объем тела вращения
(4)
Пример: Вычислить объем шара радиуса R.
Решение:
Шар радиуса R получается вращением полуокружности вокруг оси Ox, поэтому его объем V можно найти по формуле (3). Используя симметрию данного шара относительно оси Oy, находим
Решение типовых задач
Задание1. Найти первообразные для функций .
Решение:
Функция Легко заметить, что имеет ту же самую производную и поэтому также является первообразной для на R. Ясно, что вместо числа 7 можно поставить любую постоянную. Таким образом, мы видим, что задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений.
Для функции на интервале (0; +) первообразной является функция , так как для всех x из этого интервала. Так же как и в примере 1, функция при любой постоянной С есть первообразная для функции на том же интервале (0; +).
Функция не является первообразной для функции на промежутке , так как равенство не выполнено в точке 0. Однако в каждом из промежутков и функция F является первообразной для f.
Задание 2. Вычислить интегралы:
Решение:
Задание 3.
1) Вычислить работу, совершенную одним молем идеального газа при обратном изотермическом расширении от
Решение: При обратимом расширении одного моля идеального газа давление Совершаемая газом при изменении объема на величину dV элементарная работа dA=pdV. Полная работа расширения газа от начального объема V1 до конечного объема V2
2) Скорость поступательно движущегося тела (м/с). Определить путь, пройденный телом за первые 10с после начала движения.
Решение: Так как то откуда
В нашем случае t1=0, t2=10, v=8t-1.
Искомый путь
Упражнения
Задание 1. Вычислить интегралы
Задание 2. Решить задачи
Найти функцию, производная от которой равна и при принимает значение, равное 4.
Найти функцию, производная которой равна а при х=1 значение функции равно 2е.
Составить уравнение пути если скорость тела задана формулой (м/c) и за t=3 с тело прошло путь s=60 м.
Составить уравнение движения точки, если скорость точки (м/c), а при t=0 точка покоилась.
Составить уравнение движения точки, если скорость точки (м/c), а при t=1 с s=3e м.
Материальная точка движется прямолинейно. Ускорение точки изменяется по закону , где . Какой скорости достигнет материальная точка через после начала движения из состояния покоя? Какой путь пройдет она за это время?
Задан закон изменения углового ускорения . Какой угловой скорости достигнет материальная точка через после начала движения из состояния покоя? Чему равно ее угловое перемещение за это время?
Тело движется прямолинейно с ускорением . Найти скорость тела в момент и закон движения тела, если в начальный момент тело находилось в начале координат и начальная скорость тела равна нулю.
Две точки начинают двигаться по прямой в один и тот же момент времени в одном и том же направлении из одного и того же места. Скорости точек равны м/с, м/с соответственно. Через какое время расстояние между ними составит 216 м?
Тело движется прямолинейно со скоростью Найти путь, пройденный телом от начала движения до остановки.
Ускорение протона изменяется по закону: (в СИ). Найти: 1) законы движения 2) соотношения между и .
Найти массу стержня длинной 100см, если его линейная плотность изменяется по закону: .
Какое количество тепла выделится в проводнике сопротивлением за 60 секунд, если ток изменяется по закону: (в СИ). (Указание: , –количество теплоты).
В момент времени t скорость изменения концентрации препарата с изотопным индикатором изменяется по закону: . Найти концентрацию препарата в момент времени
На материальную точку действует сила, которая линейно зависит от пройденного пути: . В начале движения она составляет 100Н, а когда точка переместилась на 10м, сила возросла до 600Н. Найти работу, произведенную силой на этом пути. Указание: элементарная работа .
Вычислить работу, совершаемую при сжатии пружины на 15см, если известно, что для сжатия пружины на 1см необходима сила 30Н. (Указание: ).
Тело движется прямолинейно со скоростью . Найти значение если известно, что за время от 0 до 2с тело прошло путь длиной 40м.
Тело движется со скоростью (м/с). Найти путь, пройденный телом за время от c до c.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.
Найти, при каком значении площадь фигуры, ограниченной кривой прямыми и осью абсцисс, равна .
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.