- •С.А. Воробьев
- •Конспект лекций
- •Лекция № 1. Введение. Современное состояние и развитие экономико-математического моделирования
- •Лекция № 2. Классификация экономико-математических моделей
- •Лекция № 3. Методология математического моделирования экономических систем. Особенности моделирования экономических процессов
- •Лекция № 4. Основные принципы описания производственно - технологического процесса экономических систем. Этапы исследования экономических процессов
- •Лекция № 5. Балансовые модели. Статические балансовые модели
- •Лекция № 6. Анализ статистических балансовых моделей
- •Лекция № 7. Динамические балансовые модели
- •Лекция № 8. Модели экономической динамики. Описание моделей экономической динамики
- •Лекция № 9. Исследование моделей экономической динамики
- •Лекция № 10. Оптимальные траектории. Характеристика оптимальных траекторий
- •Лекция № 11. Вероятностно-статистические модели в экономике
- •Основные предельные положения теории вероятностей сводятся к следующему.
- •Ряд распределения системы двух дискретных величин
- •Лекция № 12. Модели массового обслуживания
- •Выходной поток требований
- •Классификация систем массового обслуживания
- •Лекция № 13. Модели изучения и прогнозирования спроса
- •Лекция № 14. Модели управления товарными запасами
- •Лекция № 15. Модели равновесия рынка
- •Расчет равновесной цены
- •Лекция № 16. Модели потребительского выбора
- •Лекция № 17. Маржинальный анализ. Заключение
- •Маржинального анализа для примера 11.1
Ряд распределения системы двух дискретных величин
-
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Здесь .
2. Функция распределения системы двух случайных величин - это вероятность совместного выполнения двух неравенств и :
.
Геометрически функция есть вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной в точке , лежащий левее и ниже значения .
Аналогично, как частный случай, функция распределения одной случайной величины есть вероятность попадания случайной точки в полуплоскость, ограниченную справа абсциссой x.
Функция есть вероятность попадания точки в полуплоскость, ограниченную сверху ординатой .
Свойства функции :
а) есть неубывающая функция обоих своих аргументов, т.е. при ; при .
б) .
в) , т.е. при одном из аргументов, равном +¥, функция распределения системы превращается в функцию распределения одной СВ, соответствующей другому аргументу.
г) .
д) Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник , ограниченный абсциссами a и b и ординатами c и d, определяется через по соотношению
.
3. Плотность распределения системы двух СВ представляет собой предел отношения вероятности попадания в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда оба его размера стремятся к нулю. Она может быть выражена как вторая смешанная частная производная функции распределения системы по обоим аргументам:
.
Элементом вероятности называется выражение . Это вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами , , примыкающий к точке . Эта вероятность равна объему элементарного параллелепипеда, ограниченного сверху поверхностью и опирающегося на элементарный прямоугольник .
Вероятность попадания случайной точки в произвольную область может быть получена суммированием (интегрированием) элементов вероятности по всей области :
.
Геометрически вероятность попадания в область изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося на область . В частности, вероятность попадания случайной точки в прямоугольник , ограниченный абсциссами a и b и ординатами c и d, выражается зависимостью:
.
Функция распределения выражается через функцию плотности соотношением:
.
Основные свойства плотности распределения системы :
Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно всегда определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему (маргинальные законы распределения).
Ранее получили: .
Так как , то, дифференцируя последнее выражение по x, будем иметь:
.
Аналогично, .
Зная , легко определяются и . Наоборот - труднее, так как надо знать условные законы распределения.
Условным законом распределения величины X, входящей в систему , называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина Y приняла определенное значение y. Зная закон распределения одной из величин и условный закон распределения другой, можно составить закон распределения системы.
Теорема умножения законов распределения: .
Аналогично: .
Условные законы распределения можно определить через безусловные:
; .
Случайная величина называется независимой от случайной величины , если закон распределения величины не зависит от того, какое значение приняла величина .
Для непрерывных случайных величин условие независимости от может быть записано в виде: при любом у.
Если зависит от , то . Зависимость или независимость случайных величин всегда взаимны: если величина не зависит от , то и величина не зависит от .
Случайные величины и называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины и называются зависимыми.
Для независимых непрерывных случайных величин теорема умножения законов распределения принимает вид: , т.е. плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.
Это условие может рассматриваться как необходимое и достаточное условие независимости случайных величин.
Числовые характеристики системы двух случайных величин
Начальным моментом порядка системы называется математическое ожидание произведения на :
Центральным моментом порядка системы называется математическое ожидание произведения -й и s-й степеней соответствующих центрированных величин:
Для дискретных случайных величин начальные и центральные моменты вычисляются, соответственно, по формулам:
;
где - вероятность того, что система примет значения , а суммирование распространяется по всем возможным значениям случайных величин , .
Для непрерывных случайных величин:
; ,
где - плотность распределения системы .
Очевидно, что ; .
Совокупность математических ожиданий и представляет собой характеристику положения центра системы . Геометрически это координаты средней точки на плоскости (центр тяжести), вокруг которой происходит рассеяние всех точек .
Дисперсии величин Х и Y характеризуют рассеяние случайной точки в направлении осей и :
.
.
Особую роль как характеристики системы играет второй смешанный центральный момент , т.е. математическое ожидание произведения центрированных величин.
Это ковариационный момент (т.е. момент связи, корреляционный момент) случайных величин , . Для дискретных случайных величин корреляционный момент выражается формулой:
а для непрерывных .
Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая, помимо рассеяния величин и , еще и связь между ними. Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.
Корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеяние. Поэтому для характеристики степени тесноты связи между величинами в чистом виде переходят от момента к безразмерной характеристике , где - средние квадратические отклонения величин и . Эта характеристика называется коэффициентом корреляции величин и .
Две независимые случайные величины всегда являются некоррелированными. Обратное верно не всегда. Равенство нулю коэффициента корреляции (корреляционного момента) есть необходимое, но недостаточное условие независимости случайных величин.
Условие независимости случайных величин - более жесткое, чем условие некоррелированности. Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты только линейной зависимости между случайными величинами.
Свойства коэффициента корреляции:
, где - константы;
Минимальное число характеристик, с помощью которых может быть охарактеризована система n случайных величин , сводится к следующему: n математических ожиданий , характеризующих средние значения величин; n дисперсий , характеризующих их рассеяние; корреляционных моментов
, характеризующих попарную корреляцию всех величин, входящих в систему.
Дисперсия каждой из случайных величин есть частный случай корреляционного момента, а именно, корреляционный момент величины и той же величины : .
Все корреляционные моменты и дисперсии удобно располагать в виде симметричной по отношению к главной диагонали квадратной корреляционной матрицы случайных величин :
, где ;
В целях наглядности суждения именно о коррелированности случайных величин безотносительно к их рассеиванию часто пользуются нормированной корреляционной матрицей , составленной из коэффициентов корреляции
; .
Плотность нормального распределения двух случайных величин выражается формулой:
Этот закон зависит от пяти параметров: .
Параметры представляют собой математические ожидания (центры рассеивания) величин и ; - их средние квадратические отклонения; - коэффициент корреляции величин и .
Если и не коррелированы, то
Для системы СВ, подчиненных нормальному закону, из некоррелированности величин вытекает также их независимость.
Термины "некоррелированные" и "независимые" величины для случая нормального распределения эквивалентны.
Условный закон двухмерного нормального распределения:
Очевидно, что последнее выражение есть плотность нормального закона с центром рассеяния и средним квадратическим отклонением
Из последних формул следует, что в условном законе распределения величины при фиксированном от этого значения зависит только условное математическое ожидание , но не дисперсия.
Прямая называется линией регрессии на . Аналогично прямая есть линия регрессии на .