матстат
.pdfГерлейн О.В. |
1 |
ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Т И П О В О Й Р А С Ч Е Т
на тему
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
Асимптотические утверждения теории вероятностей, используемые в математической статистики
Задание. 1 1. (Закон больших чисел). Случайные. величина Xi с одинаковой вероятностью может принимать одно из двух значений i a или i a . Выяснить, удовлетворяет ли
последовательность Х1, Х2 ,..., |
Хп попарно независимых CВ закону больших чисел. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim P |
1 |
|
X |
|
|
|
M ( X |
|
) |
|
|
|
1 , при >0. Решить задачу для двух значений |
|||||||||||||
n |
|
i |
|
i |
|
|
||||||||||||||||||||
n |
|
i 1 |
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
параметра а: а1 |
и а2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вар |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
6 |
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
a1 |
1 |
|
1,5 |
2 |
|
|
2,5 |
3 |
|
|
3,2 |
|
2,2 |
1,6 |
1,8 |
2,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
2,2 |
1,6 |
|
||||
а2 |
0,6 |
|
0,4 |
0,5 |
|
|
0,7 |
0,75 |
|
0,25 |
|
0,35 |
0,45 |
0,33 |
0,36 |
0,7 |
0,8 |
0,75 |
0,9 |
0,85 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вар |
16 |
|
17 |
18 |
|
|
19 |
20 |
|
|
21 |
|
|
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
|||
а1 |
2,6 |
|
1,8 |
1,9 |
|
2,7 |
3,1 |
1,1 |
|
1,5 |
1,6 |
2,6 |
3,6 |
2,7 |
2,8 |
2,9 |
2,3 |
3,4 |
|
|||||||
а2 |
0,5 |
|
0,5 |
0,5 |
|
|
0,9 |
0,6 |
|
|
0,6 |
|
|
0,7 |
0,6 |
0,4 |
0,7 |
0,3 |
0,5 |
0,4 |
0,61 |
0,55 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.(Центральная предельная теорема теории вероятностей).На отрезке [0, a] cлучайным образом выбраны n чисел Хi i=1,…, n. Найти вероятность того, что их
n
сумма заключена в пределах t1 и t2, т.е. Р{t1< Xi < t2}
i 1
Пояснение: выбор случайным образом n чисел из интервала [0, a], интерпретируется как выборка n независимых одинаково распределенных СВ Х1, Х2 ,..., Хп (IID–Independe IdenteficalDistribjution)по равномерному закону на отрезке [0, а] с математическим
ожиданием Мхi = 0.5a и дисперсией DXi |
= 2 = |
a 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вар |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
9 |
|
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
14 |
15 |
|
a |
1/3 |
1/4 |
1/5 |
1/6 |
1/7 |
1/8 |
1/9 |
0,1 |
|
1/11 |
|
1/12 |
1/13 |
|
2/3 |
|
1/2 |
2/5 |
2/7 |
|||
t1 |
17 |
22 |
28 |
35 |
40 |
46 |
53 |
58 |
|
64 |
|
|
71 |
|
76 |
|
34 |
|
44 |
56 |
80 |
|
t2 |
20 |
26 |
33 |
38 |
44 |
51 |
56 |
62 |
|
69 |
|
|
74 |
|
80 |
|
40 |
|
52 |
66 |
88 |
|
п |
108 |
162 |
300 |
432 |
584 |
768 |
972 |
1200 |
1452 |
1728 |
202 |
|
108 |
|
162 |
300 |
584 |
|||||
Вар |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
||||||
a |
2/9 |
2/11 |
2/13 |
1 |
3/4 |
3/5 |
3/7 |
3/8 |
0,3 |
|
3/11 |
3/13 |
1/14 |
1/20 |
1/26 |
2 |
||||||
t1 |
106 |
128 |
152 |
51 |
66 |
74 |
120 |
138 174 |
|
192 |
228 |
20 |
29 |
38 |
102 |
|||||||
t2 |
112 |
138 |
160 |
60 |
78 |
99 |
152 |
158 186 |
|
207 |
240 |
22 |
31 |
40 |
120 |
п972 454 202 108 162 300 584 768 1200 1452 2028 584 1200 2028 108
Задания. 2.Нахождение характеристик законов распределения a) Проверив условие нормировки, для заданного закона распределения наблюдаемой СВ Х найти точечные оценки неизвестных параметров по методу максимального правдоподобия и методу моментов на основе повторной выборки объема п,
Герлейн О.В. |
2 |
проверить несмещеность и эффективность полученных оценок (достигается ли нижняя граница в неравенстве Рао Крамера).
b) Для данного закона найти энтропийные характеристики h(f) и D(h) = В(f) h(f)2, где функционал В(f)=M (ln2f).Нарисовать графики плотности f и функции распределения F(x) (параметр формы принять равным конкретному значению).
При возникновении трудностей при вычислении интегралов или для нахождения значений постоянных типа С=0,5772157….– постоянная Эйлера можно использовать «Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений» Градштейн И.С.и Рыжик И.М. М:Наука.1971
Ниже ДСВ и НСВдискретная и непрерывная случайная величина, соответственно
1. НCB |
X |
|
распределена |
по |
закону |
арксинуса |
с |
плотностью |
|||
f (x | b) |
|
|
1 |
|
|
, при | x | b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 2 x 2
2.ДCB Х (время ожидания число испытаний в схеме Бернулли с вероятностью
успеха р до появления первого успеха) имеет геометрический закон распределения
Р(Х=x р) = qx 1р
3.ДCB Х (время ожидания число испытаний в схеме Бернулли с вероятностью успеха р до появления k-го успеха) имеет отрицательный биноминальный закон
|
распределения Р(Х=x р) = C k 1 qx kрk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
||||
4. |
НCB Х имеет плотность распределения |
f (x | b) |
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
, |
при х 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 b |
|
|
|
2b |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
x |
|
2 |
|
|
x |
|
||||||||||
5. |
НCB Х имеет распределение с плотностью f(x b)= |
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
, при х 0. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2b b |
|
|
|
|
|
b |
|
|||||||||
6. |
Х1 ,.., Хn независимые ДCB имеющие биноминальное |
|
|
|
распределение и |
|||||||||||||||
|
представляющие собой числа успехов в |
n сериях по Ni (i =1,2,...,n) |
испытаний в |
|||||||||||||||||
|
каждой серии. Р(Хi = xi р) = C xi p xi q Ni xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
НCB Х [a; b] имеет распределение Симпсона |
|
с |
двухпараметрической |
|
4(x a) |
|
|
|
|
(a b) |
2 |
|
|
|
|
плотностью f (x | a , b) |
4(b x) |
|
|
||
|
|
|
(a b) |
2 |
|
|
, x [a;0,5(a b)
(сумма двух независимых
, x [0,5(a b);b]
равномерных СВ) |
|
|
|
|
|
|
|
8. C.B Х распределена |
по |
закону |
Лапласа (двусторонний экспоненциальный) с |
||||
|
1 |
|
|
|
| x а | |
||
плотностью f(x b,а) = |
|
exp |
|
|
, при х R |
||
|
|
|
|||||
|
2b |
|
|
|
b |
|
|
9.СВ Х имеет распределение Парето на интервале x b с однопараметрической
|
1 |
|
x |
(1 |
1) |
|
|
|
|||||||||||
плотностью f (x | c, b) |
|
|
|
|
c |
|
|
, при х [b; ), с>0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
cb b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
10. НCB. Х имеет распределение |
Кэптейна с |
двупараметрической |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
g'(x) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
плотностью f (x | а, 2 ) |
|
|
|
|
exp |
|
{g(x) a} |
, где g(x)=x3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Герлейн О.В. |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
11. НCB. X имеет полунормальное распределение (модуля нормально распределенной |
|||||||||||
случайной величины |
|
с |
нулевым средним) с однопараметрической |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
плотностью f (x | ) |
|
|
|
|
exp |
|
|
|
, при x 0. |
||
|
|
|
|
|
2 2 |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. ДCB Х (время ожидания число испытаний в схеме Бернулли с вероятностью успеха р до появления ровно k успехов) имеет (отрицательное биномиальное
распределение-закон Паскаля) Р(Х = x р) = Cxk 11pk q x 1 k .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x a 1 |
|
x |
||||
13. |
НCB Х имеет распределение с плотностью f(x b,а) = |
|
|
|
|
|
exp |
|
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b (a) b |
|
|
b |
||||
|
при х 0.параметр a известен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
14. |
НCB |
Х |
имеет |
распределение |
с |
двухпараметрической |
плотностью |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
a} |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f (x | а, 2 ) |
3x |
|
|
exp |
{x |
|
|
, |
где x R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15. |
НCB Х- срок службы элементов электронной распределен по закону f(x b, а)= |
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
æ |
|
x - |
a |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
expç- |
|
|
|
÷, при x ³ a (сдвинутый показательный закон) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bb
16.C.B Х характеризующая срок службы элементов электронной аппаратуры, имеет÷øçè
|
2x |
|
|
x |
2 |
|
|
плотность распределения Релея f(x b) = |
exp |
|
|
, при |
x 0 |
||
|
|
|
|||||
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. НCB Х R имеет плотность |
f (x | а, 2 ) |
|
5x4 |
|
|
|
|
|
|||
2 |
|||||
|
|
|
|
|
(x |
5 |
a) |
2 |
||
exp |
|
|
|
, |
|||
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
18. НC.B |
Х |
|
имеет |
распределение Эрланга с плотностью f(x b) = |
||||||
1 |
x k 1 |
|
|
x |
при х 0.(k–целое) |
|||||
|
|
|
|
|
exp |
|
, |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
b(k 1)! b |
|
|
|
b |
|
19.НCB Х характеризующая срок службы элементов электронной аппаратуры, имеет плотность логнормального распределения (у=lnx, Y нормально распределенная
|
|
1 |
|
|
|
|
(ln x )2 |
|
|
с.в) f (x}| , ) |
|
|
|
|
exp |
|
|
|
, при х 0 . |
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
x |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. НCB Х имеет распределения Релея cо сдвигом, |
сосредоточенного на интервале |
||||
|
2(x a) |
|
|
(x a)2 |
|
х .a и имеющего плотность f(x b,a) = |
|
exp |
|
|
, при x a |
|
|
||||
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
21. .НCB Х имеет распределение Максвелла (модуля скоростей молекул) с плотность
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
x2 |
|
|||||
распределения |
f (x | b) |
|
|
|
|
exp |
|
|
|
, |
при х 0 |
|
|
|
3 |
|
2 |
||||||
|
|
2 b |
|
|
2b |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
22. НCB Х |
имеет двухпараметрическую плотность |
распределения |
f(x b, a) = |
|||||
|
2(a x) |
|
|
|
(a x)2 |
|
|
|
|
|
exp |
|
|
, при x a .(обращенное |
распределение |
Релея, |
|
|
|
|
||||||
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сосредоточенное на интервале х )
Герлейн О.В. |
4 |
23.ДCB Х (числа успехов в серии N испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха р) распределена по биномиальному закону .Р(Х = x р) = CNx p xq N x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
НCB Х имеет плотность f (x | c) |
1 |
x c |
, при х [0;1] (степенное распределение |
||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
на интервале [0;1] ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
25. |
НCB |
Х |
|
имеет |
|
|
|
логистическое |
распределение |
|
с |
плотностью |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
exp |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f (x | b) |
|
b |
|
|
, х R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
b |
1 exp |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. |
НCB Х имеет распределение Лапласа (двустороннее экспоненциальное со сдвигом) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
с двухпараметрической плотностью f (x | , ) |
1 |
|
|
|
|
|
| x | |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
27. |
НCB. |
Х |
имеет |
|
полунормальное |
распределение |
|
на |
интервале x 0 с |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||
|
однопараметрической плотностью |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
/ 2b |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
f (x | b) |
be |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
28. |
ДCB Х распределена по закону Пуассона Р(Х = x ) = |
x |
e x |
|
||||||||||||||||||||||||||||
x! |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29. |
НCB |
Х |
|
|
распределена |
|
|
по |
закону |
|
|
Коши |
с |
плотностью |
||||||||||||||||||
|
f (x | a; b) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
х R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
b 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30. НCB Х [a–l; a+l] имеет
равномерных |
|
|
СВ) |
||
x l a |
, x [a |
||||
|
|
l 2 |
|||
|
|||||
f (x | a ,l) |
x a |
|
|||
|
l |
, x [a;l |
|||
|
|
|
|||
|
l |
2 |
|
||
|
|
|
распределение Симпсона (сумма двух независимых
с |
двухпараметрической |
плотностью |
l;a) |
|
|
a] |
|
|
31. НCB Х распределена по cсимметричному унимодальному закону с плотностью
|
|
|
|
x |
|
|
|
f(x b, ) = |
exp |
|
|
|
,при х R, где |
||
2 b (1/ ) |
b |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32. НCB |
Х |
распределена по закону Вейбула |
|||||
|
ax1 a |
|
x a |
||||
|
|
|
exp |
|
|
|
, при х 0 |
|
|
|
|
||||
|
b |
a |
|
b |
|
||
|
|
|
(1/ ) , =4
(3 / )
с плотностью f(x a,b)=
ЗАДАНИЕ 3
Представленная ниже таблица выборки объема n = 250 будет использоваться далее во всех вычислениях, а также станет источником построения выборок для индивидуальных вариантов заданий.
145.61 |
143.206 |
145.267 |
140.485 |
133.143 |
150.435 |
148.794 |
155.564 |
171.918 |
158.087 |
159.851 |
158.622 |
159.156 |
156.73 |
139.557 |
150.691 |
142.444 |
156.967 |
148.181 |
143.556 |
142.769 |
144.834 |
155.58 |
147.552 |
150.895 |
162.618 |
142.945 |
150.019 |
161.076 |
158.926 |
120.991 |
128.429 |
152.06 |
143.842 |
138.023 |
150.99 |
157.708 |
153.059 |
150.11 |
142.355 |
145.909 |
143.262 |
148.678 |
160.181 |
151.805 |
155.133 |
157.398 |
149.837 |
152.788 |
151.622 |
154.285 |
145.248 |
143.045 |
180.482 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Герлейн О.В. |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
147.135 |
|
157.594 |
|
146.073 |
|
137.964 |
|
139.631 |
|
149.807 |
|
150.32 |
|
152.649 |
|
|
137.201 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
154.915 |
152.383 |
143.155 |
|
133.852 |
|
164.113 |
|
159.715 |
|
138.44 |
|
151.437 |
|
166.972 |
|
|
146.797 |
129.688 |
135.888 |
|
136.747 |
|
144.829 |
|
150.621 |
|
144.042 |
|
146.693 |
|
155.391 |
|
|
152.186 |
154.05 |
138.441 |
|
138.949 |
|
138.966 |
|
145.927 |
|
136.867 |
|
121.596 |
|
162.762 |
|
|
157.911 |
151.429 |
139.937 |
|
140.73 |
|
141.22 |
|
152.777 |
|
145.978 |
|
163.02 |
|
136.219 |
|
|
153.803 |
154.377 |
167.603 |
|
143.527 |
|
155.51 |
|
165.465 |
|
131.784 |
|
163.079 |
|
139.511 |
|
|
154.591 |
139.478 |
137.579 |
|
154.241 |
|
130.834 |
|
148.761 |
|
154.132 |
|
164.656 |
|
137.711 |
|
|
146.154 |
154.763 |
151.862 |
|
151.96 |
|
155.206 |
|
158.229 |
|
159.314 |
|
158.972 |
|
152.601 |
|
|
143.066 |
154.656 |
148.493 |
|
141.368 |
|
171.144 |
|
137.64 |
|
133.062 |
|
153.865 |
|
135.711 |
|
|
145.891 |
158.742 |
144.311 |
|
140.903 |
|
141.323 |
|
160.971 |
|
139.771 |
|
137.484 |
|
156.247 |
|
|
142.623 |
155.409 |
156.641 |
|
155.196 |
|
151.459 |
|
149.488 |
|
153.16 |
|
152.488 |
|
148.294 |
|
|
145.475 |
152.937 |
151.507 |
|
140.659 |
|
157.925 |
|
157.163 |
|
160.438 |
|
158.11 |
|
156.17 |
|
|
147.549 |
149.142 |
156.848 |
|
157.911 |
|
153.578 |
|
147.887 |
|
148.445 |
|
151.36 |
|
158.639 |
|
|
169.584 |
150.688 |
155.646 |
|
155.572 |
|
168.911 |
|
164.788 |
|
127.059 |
|
156.623 |
|
145.593 |
|
|
145.263 |
150.889 |
143.012 |
|
153.472 |
|
141.25 |
|
169.001 |
|
122.741 |
|
158.702 |
|
171.791 |
|
|
160.849 |
161.757 |
140.286 |
|
134.241 |
|
154.64 |
|
164.744 |
|
161.654 |
|
142.365 |
|
155.094 |
|
|
154.96 |
141.977 |
143.729 |
|
144.466 |
|
146.54 |
|
145.355 |
|
152.509 |
|
146.266 |
|
147.269 |
|
|
162.895 |
151.941 |
170.865 |
|
134.377 |
|
150.79 |
|
154.205 |
|
166.274 |
|
156.198 |
|
132.828 |
|
|
136.274 |
173.96 |
157.332 |
|
149.975 |
|
141.54 |
|
139.826 |
|
133.692 |
|
139.462 |
|
161.159 |
|
|
159.455 |
157.597 |
139.385 |
|
145.867 |
|
166.069 |
|
150.237 |
|
146.685 |
|
145.436 |
|
153.969 |
|
|
154.961 |
149.211 |
150.83 |
|
154.224 |
|
142.28 |
|
148.655 |
|
135.371 |
|
152.018 |
|
166.807 |
|
|
140.923 |
157.864 |
148.745 |
|
138.823 |
|
157.239 |
|
152.912 |
|
141.182 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ 3.1
Вычислите максимальное, минимальное значения и размах для заданной выше выборки. Выполните группировку для значений числа интервалов т = 10, 20, постройте соответствующие гистограммы, полигоны частот и полигоны накопленных частот. Выполните вычисления для 100 чисел из приведенной выше выборки, начиная с числа п, номер которого указан в таблице.
№ п |
№ n |
№ п |
№ п |
№ п |
№ п |
||||||
1 |
10 |
6 |
50 |
11 |
90 |
16 |
95 |
21 |
135 |
26 |
15 |
2 |
20 |
7 |
60 |
12 |
270 |
17 |
105 |
22 |
145 |
27 |
25 |
3 |
30 |
8 |
70 |
13 |
75 |
18 |
115 |
23 |
155 |
28 |
35 |
4 |
40 |
9 |
80 |
14 |
85 |
19 |
125 |
24 |
165 |
29 |
45 |
5 |
90 |
10 |
27 |
15 |
75 |
20 |
135 |
25 |
115 |
30 |
85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Порядок выполнения задания
1.Определите и введите вектор–столбец выборочных значений.
2.Упорядочите выборку в порядке возрастания выборочных значений.
3.Вычислите минимальное значение и размах для полученной выборки.
4.Определите число интервалов группировки и их длину.
5.Определите вектор–столбец, содержащий середины интервалов группировки.
6.Определите с помощью функции hist(x, ) вектор–столбец частот для полученных интервалов группировки.
7.Определите вектор–столбец накопленных частот.
8.Постройте гистограмму, полигон частот.
9.Постройте полигон накопленных частот и полигон относительных накопленных частот.
10.Выполните вычисления пп. 6–9 для всех заданных значений m.
11.Сохраните рабочий документ в файле на диске.
ЗАДАНИЕ 3.2
Герлейн О.В. |
6 |
Для выборки, сформированной в задании 3.1, вычислите все описанные в разд. 3.2 выборочные характеристики.
Порядок выполнения задания
1.Прочтите сохраненный ранее файл, содержащий выборку.
2.Вычислите максимальный и минимальный элементы и размах выборки.
3.Рассчитайте выборочное среднее.
4.Найдите медиану.
5.Вычислите выборочную дисперсию и стандартное отклонение.
6.Найдите выборочные моменты 3–го и 4–го порядков.
7.Вычислите выборочный эксцесс.
8.Определите коэффициент асимметрии.
ЗАДАНИЕ 6.3
Постройте для выборки, сформированной в задании 3.1, 95 %–ный "коридор" для функции распределения исследуемой случайной величины.
Порядок выполнения задания
1.Прочитайте файл, сохраненный при выполнении задания 3.1.
2.Определите статистику Колмогорова — функцию K(z) и постройте ее график.
3.Определите значение величины а.
4.Решите графически уравнение 1 K z .
5.Постройте "коридор" для теоретической функции распределения.
ЗАДАНИЕ 3.4
Сгенерируйте выборку объема п значений случайной величины с заданным непрерывным распределением и выполните полный предварительный ее анализ для числа интервалов группировки, равного целой части размаха и доверительной вероятности 1– . Постройте графики плотности вероятностей и функции распределения и сравните их с полученными графикам" соответствующих выборочных функций.
№ |
Распределение |
Параметры |
п |
1– |
1 |
Биномиальное |
р=0.1 |
50 |
0.95 |
2 |
Геометрическое |
р=0.2 |
50 |
0.90 |
3 |
Распределение Пуассона |
=3 |
50 |
0.95 |
4 |
равномерное |
а=0, b = 3 |
50 |
0.90 |
5 |
Нормальное |
a=1, =3 |
50 |
0.95 |
6 |
Экспоненциальное |
=3 |
50 |
0.90 |
7 |
2–распределение |
п=5 |
50 |
0.95 |
8 |
Распределение Стьюдента |
п=7 |
50 |
0.90 |
9 |
Распределение Фишера |
n = 5, т = 7 |
50 |
0.95 |
10 |
Логистическое |
=0.3, =2 |
50 |
0.90 |
11 |
Биномиальное |
р=0.3 |
60 |
0.95 |
12 |
Геометрическое |
р = 0.4 |
70 |
0.90 |
13 |
Распределение Пуассона |
=2 |
80 |
0.95 |
14 |
Равномерное |
a=1, b=5 |
90 |
0.90 |
15 |
Нормальное |
a= –1, =2 |
100 |
0.95 |
16 |
Экспоненциальное |
=5 |
60 |
0.90 |
17 |
2–распределение |
п=3 |
70 |
0.95 |
18 |
Распределение Стьюдента |
n = 5 |
80 |
0.90 |
19 |
Распределение Фишера |
п = 3, m= 5 |
90 |
0.95 |
Герлейн О.В. |
7 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
20 |
|
Логистическое |
|
=2, =3 |
|
100 |
|
0.90 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
21 |
|
Геометрическое |
|
р = 0.5 |
|
70 |
|
0.90 |
|
|
22 |
|
Биномиальное |
|
р=0.4 |
|
60 |
|
0.95 |
|
|
23 |
|
Экспоненциальное |
|
=8 |
|
60 |
|
0.90 |
|
|
24 |
|
2–распределение |
|
п=4 |
|
50 |
|
0.95 |
|
|
25 |
|
Логистическое |
|
=2, =3 |
|
100 |
|
0.90 |
|
|
26 |
|
Распределение Стьюдента |
|
n = 4 |
|
80 |
|
0.90 |
|
|
27 |
|
Распределение Фишера |
|
п = 3, m= 6 |
|
90 |
|
0.95 |
|
|
28 |
|
Геометрическое |
|
р=0.3 |
|
50 |
|
0.90 |
|
|
29 |
|
Распределение Пуассона |
|
=3 |
|
80 |
|
0.95 |
|
|
30 |
|
Распределение Стьюдента |
|
n = 5 |
|
80 |
|
0.90 |
|
Порядок выполнения задания
1.Установите в меню Math режим Optimization.
2.Присвойте переменной n значение, равное 100.
3.Постройте для заданного распределения графики плотности вероятностей и функции распределения.
4.Найдите математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, медиану, моменты 3 –го и 4–го порядка, асимметрию и эксцесс заданного распределения (см. гл. 6).
5.Сгенерируйте выборку объема n значений случайной величины, имеющей заданное распределение.
6.Определите как функции переменной п и найдите выборочные значения среднего, среднеквадратичного отклонения, моментов 3– и 4–го порядка, асимметрии и эксцесса.
7.Постройте гистограмму, полигон частот, график накопленных относительных частот.
8.Постройте 95%–ный "коридор" для теоретической функции распределения и изобразите на этом же графике функцию заданного в условии распределения вероятностей.
9.Сравните вычисленные теоретические и выборочные значения параметров. 10. Выполните вычисления пп. 4 –7 для n = 150, 200, 300, 500.
ЗАДАНИЕ 3.5
Найдите состоятельные несмещенные оценки математического ожидания M и дисперсии D случайной величины по приведенным в задании выборочным значениям x1, x2 ,..., xn .
Порядок выполнения задания
1.Прочитайте с диска файл, содержащий выборочные значения, или введите заданную выборку с клавиатуры.
2.Вычислите точечные оценки M и D .
ЗАДАНИЕ 3.6
Смоделируйте несколько выборок значений случайной величины, имеющей биномиальное распределение с заданным значением параметра р. Вычислите для каждой выборки оценку параметра р и сравните с заданным значением. Представьте результаты вычислений графически.
№ p |
№ p |
№ p |
№ p |
№ p |
№ p |
||||||
1 |
0.1 |
6 |
0.11 |
11 |
0.15 |
16 |
0.21 |
21 |
0.31 |
26 |
0.41 |
2 |
0.2 |
7 |
0.12 |
12 |
0.25 |
17 |
0.22 |
22 |
0.32 |
27 |
0.17 |
3 |
0.3 |
8 |
0.13 |
13 |
0.35 |
18 |
0.23 |
23 |
0.33 |
28 |
0.18 |
Герлейн О.В. |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||
|
0.4 |
|
9 |
0.14 |
|
14 |
0.45 |
|
19 |
0.24 |
|
24 |
0.34 |
|
29 |
0.19 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5 |
0.31 |
|
10 0.12 |
|
15 |
0.34 |
|
20 |
0.11 |
|
25 |
0.3 |
|
30 |
0.34 |
|
Порядок выполнения задания
Используя функцию rbinom(1, n, p), опишите и сформируйте последовательность значений случайной величины, имеющей распределение Бернулли с заданными p и n
для n = 10, 20,..., 100
ЗАДАНИЕ 3.7
Смоделируйте несколько выборок разного объема значений случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [0, ] для значения = N/2 (N –
номер варианта), и найдите оценки ˆ 1 и ˆ 3 параметра . Постройте график
зависимости ˆ 1 и ˆ 3 от объема выборки.
Порядок выполнения задания
1.Используя функцию runif(n,0,N/2), опишите и сформируйте последовательность п значений случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке
[0, N/2].
2.Вычислите для каждого значения n точечные оценки ˆ 1 и ˆ 3 параметра .
3.Постройте график зависимости величин ˆ 1 и ˆ 3 от объема выборки.
ЗАДАНИЕ 3.8
Смоделируйте несколько выборок объема n значений случайной величины ξ, имеющей распределение Пуассона с параметром λ = 0.1N, N — номер варианта. Для одной выборки постройте график функции правдоподобия. Найдите оценку максимального правдоподобия параметра λ как функцию объема выборки. Выполните вычисления для n = 10N, 20N, …50N при N 15 и для n = N, 2N, …10N при N > 15. Изобразите на графике зависимость оценки от объема выборки. Сравните полученные оценки с заданным значением параметра.
Порядок выполнения задания
1.Смоделируйте выборку значений случайной, величины имеющей распределение Пуассона с заданным значением параметра λ.
2.Определите логарифм функции максимального правдоподобия и изобразите его график.
3.Смоделируйте несколько выборок разного объема значений случайной величины, имеющей распределение Пуассона с заданным значением параметра λ.
4.Вычислите оценку максимального правдоподобия параметра λ как функцию объема выборки.
5.Изобразите на графике зависимость оценки максимального правдоподобия от объема выборки.
ЗАДАНИЕ 3.9
Смоделируйте несколько выборок объема n значений случайной величины ξ, имеющей показательное распределение с параметром λ = 0.1N, где N – номер варианта. Для одной выборки постройте график функции правдоподобия. Найдите оценку максимального правдоподобия параметра λ как функцию объема выборки. Выполните вычисления для n = 10N, 20N, …, 50N при N 15 и для n = N, 2N, …10N при N > 15. Изобразите на графике зависимость оценки от объема выборки. Сравните полученные оценки с заданным значением параметра.
Порядок выполнения задания
1. Смоделируйте выборку значений случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение с заданным значением параметра λ.
Герлейн О.В. |
9 |
2.Найти логарифм функции максимального правдоподобия и изобразите его график.
3.Смоделируйте несколько выборок разного объема значений случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение с заданным значением параметра λ.
4.Вычислите оценку максимального правдоподобия параметра λ как функцию объема выборки.
5.Изобразите на графике зависимость оценки максимального правдоподобия от объема выборки.
ЗАДАНИЕ 3.10
Смоделируйте выборку объема п = 200 значений случайной величины ξ, имеющей распределение Лапласа с указанными параметрами θ1 и θ2.Найдите оценки максимального правдоподобия параметров θ1 и θ2.
№ |
1 |
2 |
№ |
1 |
2 |
№ |
1 |
2 |
№ |
1 |
2 |
№ |
1 |
2 |
№ |
1 |
2 |
1 |
1 |
1.5 |
6 |
3.5 |
4 |
11 |
1.5 |
1 |
16 |
4 |
3.5 |
21 |
1 |
1.5 |
26 |
1.5 |
1 |
2 |
1.5 |
2 |
7 |
4 |
4.5 |
12 |
2 |
1.5 |
17 |
4.5 |
4 |
22 |
1.5 |
2 |
27 |
2 |
1.5 |
3 |
2 |
2.5 |
8 |
4.5 |
5 |
13 |
2.5 |
2 |
18 |
5 |
4.5 |
23 |
2 |
2.5 |
28 |
2.5 |
2 |
4 |
2.5 |
3 |
9 |
5 |
5.5 |
14 |
3 |
2.5 |
19 |
5.5 |
5 |
24 |
2.5 |
3 |
29 |
3 |
2.5 |
5 |
3 |
3.5 |
10 |
5.5 |
1 |
15 |
3.5 |
3 |
20 |
1 |
5.5 |
25 |
3 |
3.5 |
30 |
3.5 |
3 |
Порядок выполнения задания
1.Смоделируйте выборку значений случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [0,1].
2.Определите функцию распределения Лапласа с данными значениями параметров θ1 и
θ2.
2.Определите функцию, обратную функции распределения Лапласа с заданными значениями параметров θ1 и θ2.
3.Смоделируйте выборку заданного объема значений случайной величины, имеющей распределения Лапласа с заданными значениями параметров θ1 и θ2.
4.Проверьте "на глаз" адекватность выборки.
5.Вычислите оценку максимального правдоподобия параметров θ1 и θ2.
ЗАДАНИЕ 3.11
Найдите доверительные интервалы для математического ожидания Мξ и дисперсии Dξ по заданной выборке х1, х2,…, хп из нормального распределения.
Порядок выполнения задания
1.Определите и введите компоненты вектора выборочных значений СВ.
2.Вычислите точечные оценки Мξ и Dξ.
3.Вычислите 95 %–ный доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.
4.Вычислите 90 %–ный доверительный интервал для дисперсии.
ЗАДАНИЕ 3.12
Найдите доверительный интервал для параметра λ по заданной выборке х1, х2,…xn из пуассоновского распределения.
Порядок выполнения задания
1.Сгенерируйте выборку из 500 значений случайной величины, имеющей пуассоновское распределение с заданным параметром λ по первым 100, 150, 200, . . ., 500 элементам выборки.
2.Найдите для заданного значения доверительной вероятности α квантиль уровня 1— 0.5α стандартного нормального распределения.
3.Найдите точечную оценку параметра λ.
4.Вычислите доверительный интервал для λ с заданным значением доверительной вероятности α.
Герлейн О.В. |
10 |
5. Постройте график зависимости |
λ = λright — λleft от n для различных α. |
ЗАДАНИЕ 3.13
Найдите доверительный интервал для вероятности события по заданным значениям числа испытаний n и числа т появлений события в серии из п испытаний.
№ |
n |
m |
№ |
n |
m |
№ |
n |
m |
№ |
n |
m |
№ |
n |
m |
№ |
n |
m |
1 |
50 |
35 |
6 |
50 |
25 |
11 |
40 |
22 |
16 |
65 |
32 |
21 |
40 |
22 |
26 |
50 |
25 |
2 |
60 |
35 |
7 |
60 |
25 |
12 |
45 |
24 |
17 |
70 |
34 |
22 |
45 |
24 |
27 |
60 |
37 |
3 |
70 |
35 |
8 |
70 |
27 |
13 |
50 |
26 |
18 |
75 |
36 |
23 |
50 |
26 |
28 |
70 |
36 |
4 |
80 |
35 |
9 |
80 |
34 |
14 |
55 |
28 |
19 |
80 |
38 |
24 |
80 |
35 |
29 |
80 |
35 |
5 |
90 |
35 |
10 |
90 |
33 |
15 |
60 |
30 |
20 |
85 |
40 |
25 |
90 |
35 |
30 |
90 |
34 |
Порядок выполнения задания
1.Найдите для заданного значения доверительной вероятности α квантиль уровня 1— 0.5 α; стандартного нормального распределения.
2.Найдите точечную оценку параметра р.
3.Вычислите доверительный интервал для параметра р с заданным значением доверительной вероятности α.
ЗАДАНИЕ 3.14
Найдите доверительный интервал для коэффициента корреляции по заданной выборке (xi, yj), i,j=1,…,п, (X;У), из двумерной случайной величины.
№ |
X |
1.682 |
0.386 |
–1.913 |
–1.754 |
–1.656 |
0.655 |
–0.704 |
2.704 |
1 |
Y |
–11.852 |
16.851 |
–11.315 |
4.084 |
–10.834 |
–8.111 |
5.832 |
–10.758 |
|
X |
–2.656 |
0.861 |
0.975 |
3.621 |
–1.195 |
1.202 |
3.193 |
|
|
Y |
–3.552 |
8.853 |
19.607 |
–2.048 |
–3.235 |
10.168 |
11.248 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
X |
0.492 |
1.141 |
1.746 |
1.963 |
1.894 |
0.62 |
–1.287 |
1.031 |
2 |
Y |
13.179 |
10.359 |
5.913 |
7.178 |
10.179 |
14.364 |
20.682 |
6.851 |
|
X |
–0.201 |
–1.626 |
4.329 |
–2.372 |
–3.288 |
0.873 |
–2.758 |
|
|
Y |
8.606 |
4.25 |
36.788 |
12.15 |
–32.098 |
12.904 |
–10.121 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
X |
–0.847 |
0.278 |
–1.298 |
0.794 |
–1.65 |
3.9 |
–5.352 |
1.84 |
3 |
Y |
–17.867 |
4.642 |
4.802 |
24.515 |
6.313 |
–7.856 |
–26.851 |
36.354 |
|
X |
4.458 |
2.27 |
2.451 |
–1.843 |
–3.052 |
1.028 |
3.049 |
|
|
Y |
22.944 |
8.644 |
–1.023 |
–13.816 |
–24.199 |
–7.076 |
24.014 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
X |
1.991 |
1.619 |
–2.023 |
–0.727 |
3.314 |
0.147 |
–0.563 |
–0.813 |
4 |
Y |
–6.922 |
9.229 |
15.093 |
1.123 |
–21.609 |
9.451 |
–22.941 |
2.193 |
|
X |
0.894 |
1.092 |
–0.058 |
0.266 |
0.945 |
–1.444 |
–0.169 |
|
|
Y |
–2.419 |
–7.153 |
–2.961 |
0.026 |
4.406 |
17.23 |
–2.743 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
X |
–1.124 |
–2.081 |
–0.953 |
–0.514 |
–0.196 |
–1.853 |
–0.469 |
–0.613 |
|
Y |
6.97 |
4.261 |
6.42 |
–3.659 |
3.114 |
6.043 |
4.598 |
22.696 |
|
X |
–2.188 |
–0.091 |
–0.434 |
–2.971 |
0.642 |
0.928 |
–5.095 |
|
|
Y |
8.84 |
–1.422 |
14.659 |
25.827 |
–13.594 |
13.093 |
6.626 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
X |
–2.7 |
–0.931 |
–0.257 |
1.383 |
–0.315 |
–3.05 |
0.054 |
0.835 |
|
Y |
–14.902 |
–18.113 |
6.138 |
13.813 |
–0.227 |
4.927 |
2.576 |
1.184 |
|
X |
1.661 |
3.333 |
–1.12 |
0.377 |
–2.28 |
–5.092 |
3.124 |
|
|
Y |
–14.133 |
1.527 |
11.866 |
2.121 |
–6.254 |
13.972 |
13.972 |
|
7 |
X |
–0.564 |
–0.519 |
3.022 |
–1.669 |
–0.446 |
–2.146 |
–0.498 |
–3.789 |
|
Y |
18.648 |
–29.637 |
11.949 |
–4.221 |
8.611 |
10.646 |
–0.823 |
7.915 |
|
X |
2.741 |
–1.77 |
–3.803 |
–1.949 |
1.352 |
1.143 |
–0.883 |
|
|
X |
–12.198 |
24.134 |
12.219 |
–0.105 |
6.862 |
–11.786 |
–12.537 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|