- •010800.62 Механика и математическое моделирование
- •Реферат
- •Глава 1. Задача контактного кручения для стержня
- •1.1 Постановка задачи
- •1.2 Разностная схема
- •1.3 Построение разностной сетки
- •Глава 2. Плоская задача «чистого» контактного кручения
- •2.1 Постановка плоской задачи.
- •2.2 Аналитическое решение
- •2.3 Визуализация полученных результатов
- •Заключение
- •Список использованной литературы Литература
Глава 1. Задача контактного кручения для стержня
1.1 Постановка задачи
В настоящей работе нас будут интересовать максимальные локальные нормальные и касательные напряжения, возникающие в зоне контакта приложенных напряжений с цилиндром. Величина этих напряжений будет зависеть от степени деформации и от упругих свойств материала стержня. Поэтому изначально решение будем строить в перемещениях, а затем, используя реологическую модель линейного упругого тела, найдем компоненты тензора искомых напряжений внутри тела.
Уравнения равновесия в перемещениях, записанные в цилиндрических координатах, имеют вид [1]:
. (1)
, (2)
. (3)
u,v, w– окружное, радиальное и осевое смещения точки; r, φ, z – цилиндрические координаты; ρ – плотность среды; fr, fφ, fz – проекции массовой силы на оси выбранной системы координат; – объемная деформация; ; – модуль упругости при сдвиге; ν – коэффициент Пуассона; E – модуль Юнга; – оператор Лапласа.
В дальнейшем будем полагать, что нагрузки, прилагаемые к контактирующим элементам системы, настолько значительны, что их собственным весом по сравнению с нагрузками можно пренебречь, а силы электромагнитной природы вообще отсутствуют, так что
.
Следует сказать, что при формулировке задач теории упругости в компонентах перемещений как основных функций уравнения совместности деформаций удовлетворяются автоматически [2, с. 50].
1.2 Разностная схема
Аппроксимируя уравнения (1)– (3)симметричными разностями на неравномерной сетке, получим
. (4)
, (5)
. (6)
где , ,
, ,
, ;
Рис 1. Шаблон разностной сетки. Стрелками показаны направления возрастания индексов
Из разностных уравнений (4), (5) получаем следующие рекуррентные формулы для определения значений перемещений во внутренних точках:
, (7)
, (8)
, (9)
которая может быть использована при проведении расчетов по методу простой итерации. Здесь .
1.3 Построение разностной сетки
Строим экспоненциально сгущающуюся на пятне контакта сетку, следуя преобразованиям
(10)
Пусть N – число точек разбиения по радиусу, M1 – 1 – число секторов впервой четверти, K – число точек разбиения по осевой координате. Тогда
(11)
(12)
(13)
Здесь h, R – высота и радиус цилиндра; δ, ε, γ – параметры преобразования (малые величины).
Рис. 2. Сгущение плоской сетки в окрестности зон контакта
Глава 2. Плоская задача «чистого» контактного кручения
2.1 Постановка плоской задачи.
Рассмотрим деформацию стержня в случае, когда контактные напряжения направлены по касательной к боковой поверхности стержня и перпендикулярно его оси, тогда v = w = 0 и возможен режим «чистого» кручения, то есть когда для решения задачи достаточно проинтегрировать лишь уравнение (1). Если при этом ещё граничные условия не зависят от z-координаты, то задача становится плоской, то есть . В этом случае тензоры деформаций и напряжений будут иметь в качестве ненулевых лишь компоненты:
, (14)
а также σφφ и σrφ.
Запишем обобщенный закон Гука [2]:
(15)
Здесь предполагается, что по индексу k выполнено суммирование. При этом , – коэффициенты Ляме. Из последнего соотношения находим, что
. (16)
В рассматриваемом нами случае «чистого» кручения уравнение (1) принимает вид
. (17)
Причем . Учитывая последнее обстоятельство, вместо (17) окончательно получим:
. (18)
Здесь введено обозначение .
Уравнение (18) будем интегрировать при следующих граничных условиях:
; (19)
, (20)
. (21)
Причем параметр φ0 определяет размер пятна контакта.
Заметим, что при интегрировании уравнения (18) на круге или кольце необходимо использовать условие периодичности:
. (22)
Таким образом, речь идет о решении первой граничной задачи, состоящей в определении перемещений и напряжений внутри тела, если известны напряжения на его границе.