2.2Розв’язок систем нелінійних рівнянь методом Ньютона
Системи нелінійних рівнянь розв’язують аналогічно до нелінійних рівнянь, однак маємо замість однієї функції вектор функцій, замість однієї невідомої – вектор невідомих: F(x) = 0.
Ітераційна формула та ж:
Однак похідна у даному випадку буде якобіаном J(xn), і операція ділення на матрицю замінюється операцією знаходження оберненої матриці.
Фактично, необхідно розв’язати систему лінійних рівнянь J(xn)∙ ∆xn= –F(xn) (щоб не шукати обернену матрицю).
2.2.1Завдання: сформувати систему лінійних рівнянь для розв'язку системи нелінійних рівнянь
Нехай маємо систему і стартову точку:
f1 = x3y + y2x2 – 2.5
f2 = 2xy2 – 1.5
x0 = [-1; 1];
Сформуємо систему відповідно до формули J∙x = –F
Якобіан:
J11 = 3yx2 + 2xy2 = 1.00
J12 = x3 + 2yx2 = 1.00
J21 = 2y2 = 2.00
J22 = 4xy = –4.00
Значення функції в стартовій точці:
f1 = x3y + y2x2 – 2.5 = -2.50
f2 = 2xy2 – 1.5 = -3.50
Відповідь:
Увага, часто при виконанні ручного розрахунку губиться знак “–” біля F.
2.2.2Завдання для самостійної роботи
Виконайте розв’язок описаної вище задачі самостійно для наступних прикладів:
Завдання № 1
f1 = 2*y^2*x+1.5
f2 = x*y+y^3+1.5
X0 = [-1; -1]
Завдання № 2
f1 = y^3*x+x^2*y-1.5
f2 = x^2*y-x^3*y+1.5
X0 = [-1; -1]
Завдання № 3
f1 = y^3+y^2*x^2-2.5
f2 = x^2*y-y^2*x-1.5
X0 = [ 1; 1]
Завдання № 4
f1 = y^3-x^2*y+2.5
f2 = x^4-x^3*y-1.5
X0 = [ 1; -2]
Завдання № 5
f1 = y^3*x-x^3+2.5
f2 = y^2*x^2-x^3*y-2.5
X0 = [ 1; -1]
Завдання № 6
f1 = x^3+x*y-1.5
f2 = y^2*x^2-y^3*x-1.5
X0 = [ 1; -1]
Завдання № 7
f1 = y^2*x-x*y-1.5
f2 = x^3-x^3*y-1.5
X0 = [ 1; -2]
Завдання № 8
f1 = x^3+y^3*x+2.5
f2 = x^3*y-y^2*x+1.5
X0 = [ 1; -1]
Завдання № 9
f1 = y^3-x^3-2.5
f2 = x^3-x^2*y+1.5
X0 = [-1; 1]
Завдання № 10
f1 = x^3+x^2*y+1.5
f2 = y^3+x^2*y+2.5
X0 = [-1; -2]
Завдання № 11
f1 = y^2*x-x^2*y-2.5
f2 = x^3-x^3*y-1.5
X0 = [ 1; -2]
Завдання № 12
f1 = y^2-x^2*y-2.5
f2 = x*y-x^3-2.5
X0 = [-2; 0]
Завдання № 13
f1 = y^2*x+y^3+2.5
f2 = x^2+x^3*y+2.5
X0 = [ 1; -2]
Завдання № 14
f1 = x*y-y^2*x-1.5
f2 = x^3*y-y^3*x-2.5
X0 = [-2; 1]
Завдання № 15
f1 = x^2*y+x^4-2.5
f2 = x^3*y-x^2*y+1.5
X0 = [-1; -2]
Завдання № 16
f1 = y^2*x-x^3*y+1.5
f2 = y*x-x*y^3+2.5
X0 = [-1; -2]
Завдання № 17
f1 = y^2*x^2-x^4-2.5
f2 = x^2-x^3*y-2.5
X0 = [-1; 1]
Завдання № 18
f1 = x*y^3+y^2-1.5
f2 = x*y^3+y*x+1.5
X0 = [ 0; 1]
Завдання № 19
f1 = y^2*x+y*x^2+1.5
f2 = y*x-y^2*x-1.5
X0 = [-1; 1]
Завдання № 20
f1 = y^2*x^2-x^4+1.5
f2 = x^3+x^3*y+2.5
X0 = [-1; 0]
Завдання № 21
f1 = x^4-x^3*y-2.5
f2 = x^3-y^2*x^2+2.5
X0 = [ 1; -1]
Завдання № 22
f1 = x^2+y^2*x^2-2.5
f2 = y^2*x^2+y^2*x-2.5
X0 = [ 1; -2]
Завдання № 23
f1 = x^3*y-y^2*x+1.5
f2 = y^3+y*x^2-1.5
X0 = [-2; 1]
Завдання № 24
f1 = y^2-y*x^2-1.5
f2 = y*x^2+x^3*y-1.5
X0 = [-2; -2]
Завдання № 25
f1 = y*x+x^3*y-2.5
f2 = y^2*x-y*x^2+1.5
X0 = [-1; -1]
Завдання № 26
f1 = y^2*x^2+x*y^3-1.5
f2 = y^3-x^3-2.5
X0 = [ 1; -1]
Завдання № 27
f1 = y^2*x^2+y^2*x-1.5
f2 = y*x^2-x^4+1.5
X0 = [ 1; 1]
Завдання № 28
f1 = y^2*x+y*x+1.5
f2 = y*x-x^3*y+2.5
X0 = [-2; -1]
Завдання № 29
f1 = y*x^2+x^4-2.5
f2 = y^2*x-x^3*y+1.5
X0 = [-2; -1]
Завдання № 30
f1 = 2*y^2*x-1.5
f2 = y^3+x^3*y+2.5
X0 = [ 0; -1]