Розділ 2.Розв’язок нелінійних рівнянь
2.1Розв’язок нелінійних рівнянь методом Ньютона
Для розв’язку нелінійного рівняння f(x) = 0 можна скористатися різними методами. Один з найшвидших і найпростіших методів – це метод Ньютона-Рафсона, або метод дотичних. Графічна інтерпретація приведена нижче:
Ми маємо певну стартову точку x0, в цій точці будуємо дотичну до графіка функції, знаходимо точку перетину дотичної з віссю x1 і далі починаємо знову.
Ітераційний процес продовжується аж доки ми не отримаємо достатньо малого значення |f(xi)|, або доки не буде досягнуто максимальне значення ітерацій (у випадку розбіжності).
Ітераційна
формула має вигляд
Збіжність квадратична, тож досить точний розв’язок отримується вже на перших 3-5 ітераціях.
2.1.1 Завдання: виконати один крок метода Ньютона для нелінійного рівняння
Нехай задано функцію f = (–x–5)(x+3)+2
і стартову точку x0 = –1
скористаємося формулою xi+1 = xi – f(xi)/f '(xi)
отримаємо:
f ' = –2x–8
x1 = –1.0 – (–6.00/–6.00) = –2.00
Відповідь: x1 = –2.00
2.1.2 Завдання для самостійної роботи
Виконайте розв’язок описаної вище задачі самостійно для наступних прикладів:
Завдання № 1
f = (x-3.6)*(-x-1.6)-2.3
для
x0 = -2.000000
Завдання № 2
f = (-x+2.8)*(-x+3.8)-5.3
для
x0 = -2.000000
Завдання № 3
f = (x^2)*(-x^2)+1.7
для
x0 = 1.000000
Завдання № 4
f = (x+4.3)*(-x+5.1)-3.4
для
x0 = -2.000000
Завдання № 5
f = (x^2)*(-x^2)+3.1
для
x0 = -1.000000
Завдання № 6
f = (-x-1.7)*(x+5.1)+1.7
для
x0 = -2.000000
Завдання № 7
f = (-x^2)*(-x^2)-3.3
для
x0 = -2.000000
Завдання № 8
f = (-x+3.6)*(x^2)-2.1
для
x0 = -1.000000
Завдання № 9
f = (-x-1.5)*(x+1.4)+1.1
для
x0 = -2.000000
Завдання № 10
f = (x-4.8)*(x^2)+2.8
для
x0 = -1.000000
Завдання № 11
f = (x^2)*(x+3.1)-1.6
для
x0 = 1.000000
Завдання № 12
f = (x^2)*(-x^2)+5.6
для
x0 = -2.000000
Завдання № 13
f = (x-5.4)*(x^2)+1.9
для
x0 = -1.000000
Завдання № 14
f = (-x+1.3)*(-x+4.5)-5.2
для
x0 = -1.000000
Завдання № 15
f = (x-1.2)*(x-5.2)-4.9
для
x0 = -1.000000
Завдання № 16
f = (x^2)*(x^2)-5.7
для
x0 = -2.000000
Завдання № 17
f = (-x^2)*(x^2)+5.6
для
x0 = -2.000000
Завдання № 18
f = (-x+4.1)*(x^2)-4.3
для
x0 = -2.000000
Завдання № 19
f = (x^2)*(x^2)-3.1
для
x0 = 1.000000
Завдання № 20
f = (x^2)*(x+1.2)-5.8
для
x0 = 1.000000
Завдання № 21
f = (x-4.2)*(-x^2)-3.3
для
x0 = -2.000000
Завдання № 22
f = (x^2)*(-x^2)+3.8
для
x0 = -1.000000
Завдання № 23
f = (x-1.6)*(-x-2.3)+4.8
для
x0 = 1.000000
Завдання № 24
f = (x+3.8)*(-x-5.6)+2.8
для
x0 = -2.000000
Завдання № 25
f = (x+1.8)*(x-3.6)-2.1
для
x0 = -1.000000
Завдання № 26
f = (x^2)*(-x^2)+1.8
для
x0 = -1.000000
Завдання № 27
f = (x-5.2)*(-x+1.2)+5.8
для
x0 = 1.000000
Завдання № 28
f = (-x+3.1)*(x-3.8)+4.4
для
x0 = -1.000000
Завдання № 29
f = (-x^2)*(-x^2)-4.7
для
x0 = -2.000000
Завдання № 30
f = (x+5.4)*(-x^2)+2.7
для
x0 = -2.000000