1.2Розв’язок систем лінійних рівнянь методом Гауса-Зейделя

Системи лінійних рівнянь за певних умов можна розв’язувати ітераційними методами. Для стрічкових матриць, елементи яких знаходяться майже виключно біля головної діагоналі, такий підхід може дати суттєвий виграш.

Розглянемо приклад – нехай ми маємо систему з наступними даними:

Виразимо з кожного рядка невідому x_i, де і дорівнює індексу рядка, отримаємо:

x₁ = (1 + 1*x₂ + 1*x₃ – 0*x₄)/4

x₂ = (2 + 1*x₁ – 0*x₃ + 1*x₄)/4

x₃ = (0 + 1*x₁ – 0*x₂ + 1*x₄)/4

x₄ = (1 – 0*x₁ + 1*x₂ + 1*x₃)/4

Ми отримали ітераційні формули, тепер підставимо в них значення x_i.

Для початку припустимо, що всі значення x рівні 0. ([0, 0, 0, 0]^T).

Для x₁ отримаємо ¼ = 0.25.

Для розрахунку x₂ маємо оновлений вектор невідомих [0.25, 0, 0, 0]^T, отже отримаємо x₂= 0.5625.

Для x₃ маємо [0.25, 0.5625, 0, 0]^T, отримаємо x₃=0.0625.

Для x₄ маємо [0.25, 0.5625, 0.0625, 0]^T, отримаємо x₄=0.40625

Першу ітерацію виконано, тепер розрахунок повторюється спочатку.

Критерієм закінчення ітераційного процесу може бути близькість значень вектора x на сусідніх ітераціях.

Перед початком виконання ітераційного процесу необхідно пересвідчитися в тому, що ітераційна послідовність буде збігатися до розв’язку. Для цього добре підходить умова діагональної домінантності матриці А: якщо елементи головної діагоналі за модулем більші за суму модулів решти елементів рядків, в яких вони знаходяться, то ітераційний процес буде сходитися до розв’язку. У нашому прикладі на діагоналі знаходяться значення, які більші за решту значень в рядках: |4| > |1| + |1|.

1.2.1Завдання: виконати одну ітерацію для знаходження розв'язку системи лінійних рівнянь методом Гауса-Зейделя

Нехай ми маємо систему:

Виразимо з кожного рівняння x1, x2, x3:

x₁ = (3 – 1∙x₂ – 2∙x₃) / 6

x₂ = (2 – 2∙x₁ – 1∙x₃ )/ 5

x₃ = (3 – 2∙x₁ – 1∙x₂) / 6

Приймемо початкові значення вектора невідомих як |0; 0; 0|^T

Тоді:

x₁ = (3.0 – 1.0 ∙ 0.0 – 2.0 ∙ 0.0) / 6.0 = 0.50

x₂ = (2.0 – 2.0 ∙ 0.5 – 1.0 ∙ 0.0) / 5.0 = 0.20

x₃ = (3.0 – 2.0 ∙ 0.5 – 1.0 ∙ 0.2) / 6.0 = 0.30

1.2.2Завдання для самостійної роботи

Виконайте розв’язок описаної вище задачі самостійно для наступних прикладів:

Завдання № 1

| 5 -1 2 | |x1| | 7|

| 3 -8 2 | x |x2| = |-9|

|-1 -4 6 | |x3| | 3|

Завдання № 2

| 4 1 2 | |x1| | 8|

| 3 -7 3 | x |x2| = |-8|

|-1 1 4 | |x3| | 5|

Завдання № 3

|-8 4 2 | |x1| |-2|

| 2 7 -4 | x |x2| = | 5|

| 1 -3 -5 | |x3| |-7|

Завдання № 4

|-8 -2 3 | |x1| |-7|

| 3 -8 -1 | x |x2| = |-6|

|-1 -3 5 | |x3| | 1|

Завдання № 5

|-5 2 1 | |x1| |-5|

| 3 -7 -1 | x |x2| = |-9|

| 2 -4 7 | |x3| | 3|

Завдання № 6

| 6 2 -2 | |x1| | 6|

| 1 -5 2 | x |x2| = |-2|

| 3 2 -8 | |x3| |-3|

Завдання № 7

| 8 -3 -1 | |x1| | 3|

|-1 -3 1 | x |x2| = |-2|

| 1 -1 -3 | |x3| |-6|

Завдання № 8

| 4 -1 2 | |x1| | 5|

|-3 6 -1 | x |x2| = | 2|

| 4 -1 -7 | |x3| |-4|

Завдання № 9

| 6 -1 -2 | |x1| | 9|

| 1 6 -4 | x |x2| = | 4|

| 1 -1 6 | |x3| | 7|

Завдання № 10

| 9 -4 3 | |x1| | 8|

| 1 -5 -3 | x |x2| = |-7|

| 3 1 -6 | |x3| |-2|

Завдання № 11

| 7 -3 -3 | |x1| | 1|

|-4 9 -4 | x |x2| = | 1|

|-4 -2 9 | |x3| | 3|

Завдання № 12

|-6 3 1 | |x1| |-2|

|-2 7 1 | x |x2| = | 6|

|-1 3 -6 | |x3| |-4|

Завдання № 13

| 6 -1 1 | |x1| | 7|

| 1 3 -1 | x |x2| = | 2|

|-1 -3 5 | |x3| | 6|

Завдання № 14

| 7 -2 -4 | |x1| | 1|

| 4 -7 -2 | x |x2| = |-5|

| 2 2 5 | |x3| | 9|

Завдання № 15

|-5 3 -1 | |x1| | 0|

| 2 -5 -1 | x |x2| = |-9|

| 3 -1 6 | |x3| | 7|

Завдання № 16

| 3 1 -1 | |x1| | 3|

| 4 -7 1 | x |x2| = |-8|

|-2 -2 7 | |x3| | 8|

Завдання № 17

|-9 -3 3 | |x1| |-9|

| 2 -7 -3 | x |x2| = |-8|

| 3 -4 -8 | |x3| |-9|

Завдання № 18

| 6 -3 -1 | |x1| |-1|

| 4 -6 -1 | x |x2| = |-9|

|-1 2 6 | |x3| | 9|

Завдання № 19

|-6 -1 -2 | |x1| |-9|

| 2 -7 -1 | x |x2| = |-6|

|-3 -3 7 | |x3| | 1|

Завдання № 20

|-6 -1 2 | |x1| |-5|

|-1 6 -4 | x |x2| = | 1|

| 1 -2 4 | |x3| | 3|

Завдання № 21

| 7 -1 -4 | |x1| | 5|

|-1 5 -1 | x |x2| = | 1|

| 1 4 -6 | |x3| |-6|

Завдання № 22

|-3 1 -1 | |x1| |-3|

|-1 -6 2 | x |x2| = |-5|

| 3 -3 -8 | |x3| |-8|

Завдання № 23

|-6 -1 4 | |x1| |-5|

| 1 -8 3 | x |x2| = | 0|

| 1 1 -6 | |x3| |-9|

Завдання № 24

| 9 -3 -4 | |x1| | 7|

|-1 -7 3 | x |x2| = |-3|

|-1 -4 7 | |x3| | 8|

Завдання № 25

| 6 -4 1 | |x1| | 9|

| 1 7 -3 | x |x2| = | 6|

| 4 -1 -9 | |x3| |-2|

Завдання № 26

|-7 -2 1 | |x1| |-8|

| 2 6 -3 | x |x2| = | 5|

| 2 2 -7 | |x3| |-3|

Завдання № 27

| 9 -4 4 | |x1| | 9|

|-1 7 2 | x |x2| = | 8|

|-2 1 -7 | |x3| |-8|

Завдання № 28

|-5 2 -2 | |x1| |-3|

|-1 4 -2 | x |x2| = | 5|

| 4 2 -7 | |x3| | 1|

Завдання № 29

|-3 1 1 | |x1| |-1|

| 1 6 -1 | x |x2| = | 6|

| 3 -1 -8 | |x3| |-6|

Завдання № 30

|-7 -2 4 | |x1| |-7|

|-4 6 1 | x |x2| = | 9|

|-3 3 -8 | |x3| |-5|