Способы определения изображения импульсных сигналов

В зависимости от формы импульсного сигнала возможны два способа нахождения его по Лапласу: способ представления изображения через элементарные составляющие и способ двойного дифференцирования. Указанные способы справедливы также для определения изображения сигнала в первом периоде периодической несинусоидальной функции.

1. Способ представления сигналов через элементарные

составляющие

Поясним этот способ тремя примерами.

1. Синусоидальный импульс (рис.7.5.1)

Рис.7.5.1.

Слева показан сигнал f₁, справа – представление его через элементарные составляющие

Изображение по Лапласу

.

2. Прямоугольный импульс (рис.7.5.2)

Рис.7.5.2.

Изображение по Лапласу

3. Пилообразный импульс (рис.7.5.3)

Рис.7.5.3.

Изображение по Лапласу

б) Способ двойного дифференцирования

Этот способ справедлив для сигналов произвольной формы, но является приближенным, так как для отыскания изображения по Лапласу исходной функции , представленной графически (осциллограммой), используется аппроксимирующая ее кусочно-линейная функция. При этом возможны два вида исходных функций.

1. Непрерывная кусочно-линейная функция

Дана функция f(t) вида (рис.7.5.4). Необходимо найти изображение ее первого импульса f₁(t).

Рис.7.5.4.

Графически аппроксимируем функцию f₁ отрезками прямых, обозначая через угловые коэффициенты наклона аппроксимирующих отрезков прямых к оси абсцисс в интервале . Полученную ломаную линию дважды графически дифференцируем (рис.7.5.5) и переходим к совокупности дельта-функций.

Рис.7.5.5.

Так как f₁(t) является двойным интегралом от ,то изображение запишется в виде

.

2. Разрывная кусочно-линейная функция (рис.7.5.6)

Очевидно, что в данном случае достаточно использовать однократное дифференцирование, поскольку

= .

Рис.7.5.6.

Следовательно,

При разложении воздействия, например u(t), на элементарные скачки, накладывающиеся друг на друга с временным сдвигом при t > 0, реакция цепи, например , в момент времени t > 0 определяется следующими выражениями, обычно называемыми формами интеграла Дюамеля:

Форма 1

Форма 2

причем везде предполагается, что u(t) = 0 при t > 0.

39