Классический метод расчета переходных процессов в цепях
Задача анализа переходных процессов заключается в определении мгновенных значений токов и напряжений всех или некоторых ветвей электрической цепи в момент коммутации. Для этого необходимо найти общее решение уравнения цепи по исследуемой переменной или системы уравнений электрического равновесия при t > 0 при учете заданных начальных условий линейное неоднородное дифференциальное уравнение цепи, составленное относительно искомой величины.
Порядок исходного для анализа дифференциального уравнения, описывающего соотношения токов и напряжений в цепи при переходном режиме, определяется количеством мест (полюсов) накопления электрической и магнитной энергии. При n полюсах уравнение будет иметь вид
.
(1)
Общий интеграл приведенного дифференциального неоднородного уравнения n-го порядка представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения.
Общее решение определяет электромагнитные процессы, происходящие в цепи при отсутствии внешних источников энергии, за счет того запаса энергии, который был в начальный момент времени в электрическом и магнитном полях реактивных элементов, имеющихся в цепи.
В реальных цепях всегда имеет место рассеяние энергии: часть ее будет расходоваться на нагрев проводов и сопротивлений и выделяться в виде тепла. Значит запас энергии, который был в цепи в начальный момент, со временем будет исчерпан и электромагнитные процессы в цепи прекратятся. Соответственно, токи и напряжения, определяемые при решении однородных линейных дифференциальных уравнений (нулевая правая часть уравнения – нет внешних источников энергии), с течением времени стремятся к нулю. Эти составляющие по своему характеру не зависят от внешних источников энергии и поэтому называются свободными составляющими. Общий вид свободной составляющей тока, определяемой из исходного дифференциального уравнения n-порядка можно представить как:
.
где
t
время;
постоянные интегрирования, определяемые
из начальных условий;
– корни характеристического уравнения.
Независимыми начальными (то есть до манипуляций с ключом) условиями являются значения при t = -0 величин iL(0) и uC(0), которые не могут изменяться скачком.
В отдельных случаях для определения постоянных интегрирования могут быть использованы и зависимые начальные условия значения при
t = +0 (непосредственно после начала переходного процесса) остальных токов и напряжений в цепи, причем используются предварительно подсчитанные величины токов в катушках и напряжений на конденсаторах при
t = -0.
Характеристическое
уравнение составляется для исходного
дифференциального уравнения путем
введения символа дифференцирования
.
Для уравнения (1) характеристическое
уравнение будет иметь вид:
.
(2)
Число корней характеристического уравнения равно порядку исходного дифференциального уравнения. Корни, в общем случае, могут быть комплексными числами, вещественная часть которых всегда отрицательна:
pk = βk + jωk.
Величина
k
характеризует скорость затухания
колебаний и называется коэффициентом
затухания.
Величина обратная k
обозначается k
и называется
постоянной времени переходного процесса
.
В частном случае, если корень pk
оказывается вещественным
числом ( pk
= -k
), постоянная времени равна
.
Мнимая часть корня, обозначенная k, называется угловой частотой собственных колебаний.
Частное решение дает возможность определить значение тока iв или любой другой величины при t = , то есть при новом установившемся режиме цепи. Характер и величина этой составляющей определяются внешними источниками энергии, поэтому она называется вынужденной составляющей. Вынужденная составляющая – это составляющая исследуемой переменной цепи, которая остается после затухания свободной составляющей (разложение величин на принужденные и свободные составляющие прием, облегчающий расчет переходных процессов в линейных цепях).
в) Полная величина тока определяется как сумма общего и частного решений i = iсв+ iв.