Вырожденный и невырожденный полупроводники

В состоянии термодинамического равновесия электронный газ в полупроводнике в общем случае подчиняется статистике Ферми-Дирака. При этом вероятность того, что состояние с энергией Е занято электроном, выражается формулой

, (4)

где E_F – энергия Ферми, или уровень Ферми.

При E=E_F величина f=1/2 и, следовательно, энергия Ферми – это энергия такого состояния, вероятность заполнения которого равна 0,5.

На рис. 5 представлена функция распределения Ферми-Дирака для двух температур. При температуре абсолютного нуля функция Ферми-Дирака равна единице вплоть до энергии E_F, после чего она скачком падает до нуля. Это значит, что все состояния с энергиями ниже уровня Ферми заняты, а все состояния с более высокими энергиями свободны, вероятность их заполнения равна нулю.

При повышении температуры резкая ступенька около энергии E_F начинает “расплываться”, притом тем больше, чем выше температура. Размер области размытия составляет величину порядка кТ.

Рис. 5. Функция распределения Ферми-Дирака при Т=0 К (а) и при Т>0 К (б)

Как ранее отмечалось, общее число уровней в разрешенной зоне равно числу атомов в кристалле и составляет примерно 10²² (на 1 см³). Число же свободных электронов в полупроводниках обычно колеблется в пределах 10¹²-10¹⁸ см^-3. Это значит, что доля занятых состояний в зоне проводимости, как правило, ничтожно мала, т. е. обычно f<<1. Из формулы (4) при этом следует, что

, или E-E_F>3kT.

В этом случае функция распределения Ферми-Дирака переходит в функцию распределения Максвелла-Больцмана

. (5)

Электронный газ, подчиняющийся статистике Максвелла-Больцмана, называется невырожденным. Для электронов в зоне проводимости распределение (5) справедливо, если уровень Ферми располагается ниже дна зоны проводимости на величину не менее 3 кТ. Аналогично можно показать, что дырочный газ невырожден, если уровень Ферми расположен выше потолка валентной зоны на величину не менее 3 кТ.

Рис. 6. Функция распределения Ферми-Дирака, наложенная на энергетическую диаграмму полупроводника.

Полупроводник называется невырожденным, если в нем невырождены как электронный, так и дырочный газ. Уровень Ферми в таком полупроводнике расположен в запрещенной зоне внутри интервала энергий от E_v+3kT до E_c -3kT.

Если уровень Ферми оказывается вне этого интервала, функцию распределения Ферми-Дирака уже нельзя заменить функцией распределения Максвелла-Больцмана. Полупроводник называется полностью вырожденным, если уровень Ферми заходит в глубь зоны проводимости (для электронного полупроводника) или в глубь валентной зоны (для дырочного полупроводника) более, чем на 5 кТ.

На рис. 6 функция Ферми-Дирака изображена непосредственно на схеме энергетических уровней полупроводника. Параметр E_F показывает, как нужно располагать функцию f относительно энергетических уровней системы.

Концентрация электронов и дырок

Зная функции распределения электронов и дырок и плотности квантовых состояний в зоне проводимости и валентной зоне, можно вычислить концентрации электронов и дырок. Для невырожденного полупроводника

; (6)

, (7)

где , - эффективные плотности состояний соответственно в зоне проводимости и валентной зоне. Величины N_c, N_v для германия и кремния составляют примерно 10¹⁹см^-3. Величины m_c и m_v называются эффективными массами плотности состояний соответственно электронов и дырок. Они определяются эффективными массами электронов и дырок и структурой энергетических зон полупроводника.

Перемножая концентрации электронов (6) и дырок (7), получим

.

Таким образом, произведение концентраций электронов и дырок в невырожденном полупроводнике есть величина постоянная при данной температуре. Она не зависит от концентрации легирующих примесей и является характеристикой данного полупроводника. Ее величину можно найти, рассмотрев частный случай собственного полупроводника. Полагая n=p=n_i², получаем

n p=n_i²; (8)

. (9)