Теоретические сведения Определение подвижности

Под действием внешнего электрического поля носители заряда приобретают некоторую скорость направленного движения (v_d - скорость дрейфа), которая пропорциональна напряженности электрического поля Е:

v_d = E,

где v_d - скорость дрейфа;  - подвижность носители заряда.

Таким образом, подвижность носители заряда определяется как дрейфовая скорость носителей в электрическом поле единичной напряженности.

В полупроводниках следует различать подвижность электронов _n и подвижность дырок _p. С учетом двух типов носителей заряда выражение для плотности тока принимает вид:

J = en₀_nE + ep₀_pE,

где e - заряд электронов; n₀ и p₀ - равновесные концентрации электронов и дырок в полупроводнике.

С учетом закона Ома можно записать выражение для удельной проводимости (удельного сопротивления) полупроводника:

 = 1/ = en₀_n + ep₀_p,

где  - удельная проводимость;  - удельное сопротивление.

В примесных полупроводниках, как правило, одним из слагаемых в этих выражениях можно пренебречь. Например, при достаточно большой концентрации доноров в полупроводнике вклад дырок в электропроводность ничтожно мал. В большинстве случаев подвижность дырок меньше подвижности электронов.

Дрейфовая скорость, а значит, и подвижность носителей заряда связаны с их длиной свободного пробега в кристалле:

,

где m^* - эффективная масса носителей заряда; l - длина свободного пробега; v - тепловая скорость; ₀ - время релаксации.

Большая подвижность может быть обусловлена малой эффективной массой носителя заряда m^* и большим значением времени свободного пробега или точнее времени релаксации. В полупроводниках эффективная масса носителей заряда может быть как больше, так и меньше массы свободного электрона.

Время релаксации, характеризующее уменьшение тока после снятия поля, определяется процессами рассеяния движущихся в полупроводниках носителей заряда.

Температурная зависимость подвижности носителей заряда в полупроводнике

Квантовая механика показывает, что в идеальном безграничном кристалле, т.е. в строго периодическом поле, электроны движутся с постоянной энергией и импульсом. Они не испытывают соударений, и поэтому время релаксации, а следовательно, и подвижность равны бесконечности. Конечная подвижность обусловлена процессами рассеяния импульса, возникающими в результате искажений идеальной решетки. Причинами рассеяния носителей заряда в полупроводниках, по-разному влияющими на температурную зависимость подвижности, являются: 1) примеси в ионизированном или в нейтральном состоянии; 2) дефекты решетки (пустые узлы, искажения, вызванные атомами внедрения, дислокации, трещины, границы кристаллов и т.д.); 3) тепловые колебания атомов или ионов кристаллической решетки.

Рассеяние на ионах примеси. В примесном полупроводнике каждый ион примеси вокруг себя создает электрическое поле. Под воздействием этого поля движущийся носитель заряда отклоняется от своего первоначального направления. При этом носитель заряда отклоняется тем сильнее, чем медленнее и ближе к иону примеси он движется.

Соударения носителей заряда с ионами примеси можно считать упругими поскольку масса электрона в 10⁴ раз меньше массы иона, являющегося рассеивающим центром. Кроме того, ионы решетки гораздо менее подвижны относительно своего положения равновесия, чем свободные носители заряда, поэтому при соударении носителя заряда с ионом примеси энергия носителя заряда изменяется очень незначительно.

Теоретический анализ дает следующее выражение для подвижности носителей заряда при их рассеянии на ионах примеси

, (1)

где  - диэлектрическая проницаемость полупроводника; N_I - концентрация ионов примеси; Z - заряд ионов.

При достаточно больших температурах можно считать, что

_I  _I0T^3/2.

Из последнего выражения следует, что подвижность носителей заряда, обусловленная рассеянием на ионах примеси, уменьшается при уменьшении температуры. Это происходит потому, что с увеличением температуры кристалла возрастает тепловая скорость носителей заряда, а это приводит к ослаблению взаимодействия носителей заряда с ионизированными атомами примеси, так как уменьшается длительность взаимодействия. Кроме того, при данной температуре подвижность уменьшается с увеличением концентрации примеси, которая усиливает эффект рассеяния. Этот вывод согласуется с экспериментальными данными. В качестве примера на рис.1 представлена зависимость подвижности электронов и дырок от температуры в образцах кремния, имеющих разную концентрацию примесей.

а)

б)

Рис.1. Зависимость дрейфовой подвижности электронов (а) и дырок (б) от температуры в образцах кремния, имеющих разную концентрацию примеси

Рассеяние нейтральными примесями. Рассеяние носителей заряда на нейтральных атомах примеси проявляется гораздо слабее, чем рассеяние на ионах примеси. Однако при низких температурах, когда концентрация ионизованных атомов примеси меньше концентрации нейтральных атомов примеси, этот механизм рассеяния играет существенную роль. В этом случае рассеяние носителей заряда может осуществляться двумя путями: при помощи прямого упругого соударения и обменом падающего электрона с электроном примесного атома.

Время релаксации при рассеянии носителей заряда на нейтральной примеси не зависит ни от температуры, ни от энергии рассеиваемого носителя заряда, но определяется концентрацией атомов примеси. В силу этого подвижность носителей заряда, обусловленная рассеянием на нейтральных атомах примеси, в явном виде не зависит от температуры и имеет вид:

,

где N_A - концентрация нейтральных атомов примеси; .

Рассеяние на дислокациях. Рассеяние носителей заряда может происходить на нарушениях решетки, вносимых дислокациями. Вокруг дислокации существует область, в которой кристалл деформирован, поэтому в окрестности дислокации зависимость энергии от волнового вектора отличается от закона дисперсии в идеальном кристалле. Это приводит к рассеянию свободных носителей заряда. В полупроводниках, которые кристаллизуются в структуре типа алмаза, дислокации действуют как цепочки акцепторов, которые захватывают свободные электроны. Поэтому дислокацию можно представить в виде линейного отрицательного заряда, вокруг которого имеется положительный пространственный заряд. Расчет показывает, что при рассеянии носителей заряда на дислокациях подвижность равна

,

где N_D - плотность дислокаций на единицу поверхности; R - радиус отрицательно заряженного цилиндра, осью которого является линия дислокации.

Этот механизм рассеяния незначителен при комнатных температурах, но может быть существенен при низких температурах.

Рассеяние на тепловых колебаниях решетки. При достаточно высоких температурах атомы решетки совершают малые тепловые колебания около своих равновесных положений. Среди возможных типов колебаний выделяют акустические колебания и оптические колебания. При длинноволновых акустических колебаниях все атомы элементарной ячейки смещаются практически синфазно. При оптических колебаниях атомы движутся в противофазе, а центр тяжести элементарной ячейки остается на месте. Таким образом, акустические колебания отвечают смещениям элементарной ячейки как целого, а оптические внутренним деформациям в ней при почти неподвижном центре тяжести ячейки. Эти малые колебания распространяются по всему кристаллу в виде волн. Полную энергию колеблющегося кристалла можно представить как сумму энергий невзаимодействующих квазичастиц, имеющих энергию и квазиимпульс. Эти квазичастицы носят название фононов.

Согласно существующим представлениям, рассеяние носителей заряда на тепловых колебаниях решетки можно рассматривать как их взаимодействие с фононами или, что тоже самое, с колеблющейся решеткой. Это взаимодействие сводится к поглощению или испусканию фонона, при этом увеличивается или уменьшается, соответственно, энергия носителя заряда.

Различают неполярное и полярное рассеяние. Неполярное рассеяние на акустических фононах возникает вследствие того, что при распространении волн в кристалле на периодический потенциал идеальной кристаллической решетки накладывается дополнительный периодический потенциал, вызванный смещением атомов из положений равновесия. Это приводит к изменению потенциальной энергии носителя заряда, выражение для которой оказывается того же типа, что и аналогичное. Практически неполярное рассеяние наиболее ярко проявляется в гомеополярных (атомных) полупроводниках с преимущественно ковалентными связями (Si, Ge и др.).

Механизм полярного рассеяния связан с существованием эффективных зарядов у атомов решетки. Оптические колебания решетки вызывают изменение дипольного момента элементарной ячейки, то есть колебания вектора поляризации среды. Это приводит к изменению энергии электрона, не связанному с потенциалом деформации. Следует заметить, что в гетерополярных кристаллах одновременно и независимо с полярным рассеянием может происходить и неполярное рассеяние, однако оно менее эффективно. Это связано с тем, что силы, отвечающие за возникновение полярного рассеяния, дальнодействующие, в результате чего на электрон одновременно оказывают влияние изменения дипольного момента во многих элементарных ячейках. Поэтому обычно полярное рассеяние оказывается преобладающим в гетерополярных полупроводниках с ковалентно-ионными связями и не слишком малыми эффективными зарядами (InAs, GaAs и др.). Как правило, подвижность носителей при достаточно высоких температурах (когда преобладает рассеяние на колебаниях решетки) в кристаллах с большой долей ионной составляющей связи значительно ниже, чем в кристаллах с меньшей долей.

Экспериментально установлено, что в чистых элементарных полупроводниках (с преобладающей долей ковалентной связи) при комнатной температуре основную роль играет неполярное рассеяние носителей заряда на акустических фононах. К нему добавляется неполярное рассеяние на оптических фононах. При переходе к соединениям (чистые образцы), имеющим ионную составляющую связи, начинает преобладать рассеяние носителей заряда на поляризационных фононах. Поэтому можно ожидать уменьшения подвижности при переходе от элементарных полупроводников к соединениям изоэлектронного ряда. Однако необходимо иметь в виду, что при сравнении подвижностей носителей в разных кристаллах следует учитывать, что на их величину, кроме степени ионности соединения, также влияет и масса носителей заряда, и сама зонная структура кристалла. Какой из факторов окажется преобладающим, часто трудно предсказать.

Подвижность носителей заряда в полупроводниках А^IIIВ^V и А^IIВ^VI ограничивается в основном рассеянием электронов и дырок на оптических тепловых колебаниях решетки. Поскольку атомы А^III, А^II и B^V, B^VI обладают некоторым ионным зарядом, то их противофазное смещение приводит к появлению дипольного момента, являющегося эффективным центром рассеяния электронов и дырок. Чем больше разность электроотрицательностей элементов, образующих соединение, тем сильнее выражена ионная составляющая химической связи. Соответственно возрастает рассеяние на оптических колебаниях и уменьшается подвижность носителей заряда.

В ряду ковалентных полупроводников подвижность электронов растет при переходе от алмаза к кремнию и далее к германию, т. е. приближенно можно считать, что подвижность носителей заряда увеличивается с ростом атомной массы. Аналогичная зависимость, более отчетливо выраженная для электронов, чем для дырок, имеет место и в соединениях А^IIIВ^V и А^IIВ^VI. Увеличение атомной массы компонентов ведет к уменьшению амплитуды тепловых колебаний атомов, что, в свою очередь приводит к уменьшению рассеяния носителей заряда на этих колебаниях. А так как в том же направлении происходит ослабление ионной составляющей связи, то подвижность носителей заряда резко возрастает. Среди всех полупроводников антимонид индия обладает рекордно высокой подвижностью электронов. Абсолютное значение подвижности электронов для большинства соединений существенно превышает подвижность дырок. Исключение составляет только антимонид алюминия, у которого подвижность дырок почти в три раза превышает подвижность электронов.

Вследствие большого различия в значениях подвижностей электронов и дырок в InSb, InAs, InP и GaAs их собственное удельное сопротивление практически полностью определяется движением электронов. При фиксированной температуре минимальная удельная проводимость в этих материалах наблюдается у образцов p-типа в области смешанной электропроводности.

В атомных полупроводниках при рассеянии носителей заряда на акустических колебаниях решетки подвижность равна

 , (2)

где _0l – параметр, слабо зависящий от температуры.

В полярных полупроводниках, таких как GaAs, определяющую роль играет рассеяние носителей на оптических фононах. В этом случае

 .

Сложный механизм рассеяния. В реальных полупроводниках строгая периодичность поля решетки нарушена в результате наличия в ней разных дефектов. В силу этого механизм рассеяния носит сложный характер. Если считать, что все механизмы рассеяния независимы, то полная вероятность рассеяния равна сумме вероятностей рассеяния на каждом типе рассеивающих центров, т. е.

.

В этом случае полное время релаксации будет равно:

.

Если _I не зависят от энергии

.

Отсюда следует, что, главную роль играет тот механизм рассеяния, которому соответствует наименьшее время релаксации (и, следовательно, наименьшее значение подвижности). При изменении температуры относительная роль различных механизмов может меняться. По мере изменения энергии носителей заряда роль одних механизмов рассеяния уменьшается, а роль других возрастает, поэтому характер движения носителей заряда под воздействием внешнего поля зависит от того, какой из механизмов рассеяния является доминирующим в данном интервале температур. При очень низких температурах в выражении можно учитывать только рассеяние на атомах примеси и дислокациях. С повышением температуры роль этих механизмов уменьшается по сравнению с рассеянием на ионах примеси. При высоких температурах доминирующим становится рассеяние на фононах.

В атомных полупроводниках с ростом температуры подвижность носителей заряда растет пропорционально Т^3/2, если рассеяние происходит только на ионах примеси (см. выражение (1)), затем она проходит через максимум и уменьшается пропорционально Т ^-3/2, если рассеивающими центрами являются только акустические фононы (см. выражение (2)). Однако, у большинства полупроводников экспериментальная температурная зависимость подвижности при рассеянии на тепловых колебаниях решетки не соответствует теоретическому значению показателя степени -3/2. Это объясняется тем, что в реальных полупроводниках имеют место и другие механизмы рассеяния, такие как рассеяние на оптических колебаниях, двухфонное рассеяние, рассеяние на носителях заряда. В области комнатных температур подвижность изменяется по закону Т ^-1,66 и Т ^-2,33 для n- и p-германия; Т ^-2,42 и Т ^-2,20 для n- и p-кремния; Т ^-1,0 и Т ^-2,1 для n- и p-GaAs. Эти величины будут служить ориентиром при оценке результатов настоящей работы.

Определение температурной зависимости подвижности электронов и дырок в легированном полупроводнике. Опыт показывает, что в полупроводниках с большой подвижностью (например, в германии и кремнии) зависимость  от Т можно удовлетворительно представить в виде

 = AT^p, (3)

где А и р зависят от рода полупроводника, рассматриваемого интервала температур и типа частиц (электроны или дырки). В кристаллах с малой концентрацией примесей и при достаточно высоких температурах р < 0.

Температурную зависимость проводимости можно определить по температурной зависимости проводимости в области истощения примеси. В области истощения примеси наблюдается полная ионизация примеси, концентрация носителей не зависит от температуры и равна концентрации примеси. В случае невысоких концентраций примесей, создающих мелкие примесные уровни в запрещенной зоне полупроводника, полная ионизация примеси наступает при очень низких температурах. Так, для примеси фосфора в кремнии при концентрации N_d = 10¹⁷ см^-3 ее истощение наступает уже при 150 К. Собственная проводимость кремния для данной концентрации примеси наступает при температурах, превышающих 1000 К. Таким образом, в данном случае концентрация электронов не зависит от температуры в температурном интервале 150 - 1000 К.

В области примесной, например электронной проводимости можно записать

 = en₀_n = eN_d_n.

Принимая во внимание (3), получаем

 = eN_dAT^p. (4)

Логарифмируя последнее выражение, получаем

ln = ln(eN_dA) + plnT. (5)

Если измерения  = (Т) проведены в области истощения примеси, то в координатах ln - lnТ эта зависимость будет иметь линейный характер (рис.2). Из уравнения (5) следует, что tg = p. Для нахождения коэффициента А следует по известному значению  = 1/ для комнатной температуры и зависимости  = (N_d) (рис.3) определить концентрацию примеси N_d. Тогда из уравнения (4), используя экспериментальные значения , можно определить коэффициент А. Определение коэффициентов А и p для дырочного полупроводника аналогично.

Рис.2. Температурная зависимость проводимости примесного полупроводника в области истощения примеси	Рис.3. Зависимость удельного сопротивления кремния при комнатной температуре от концентрации примесей донора и акцептора

В настоящей работе для изучения температурной зависимости проводимости используется четырехзондовый метод измерения. Схема измерений приведена на рис.4. На плоской поверхности образца размещают четыре металлических электрода в виде металлических иголок-зондов. Все четыре электрода расположены вдоль одной прямой линии. Через два внешних зонда 1 и 4 пропускают электрический ток I, на двух внутренних зондах 2 и 3 измеряют падение напряжения U. Для исключения термо-ЭДС, возникающей вдоль образца, проводят измерения при двух противоположных направлениях тока. При этом напряжение вычисляют как среднее из результатов двух измерении. Теория зондового метода приводит к следующей связи тока и напряжения с проводимостью при равных расстояниях (s) между зондами:

.

Рис.4. Блок-схема для измерения проводимости полупроводника четырехзондовым методом

Исследуемый образец размещается на плоской поверхности нагревательного устройства, позволяющего изменять температуру образца. Последняя измеряется термопарой, горячий спай которой находится рядом с металлическими зондами. Измерение тока и напряжения на зондах, ЭДС термопары осуществляется цифровыми мультиметрами.