§ 6.4. Потенциальные поля

По своим энергетическим свойствам, по свойствам совершать работу, поля разделяются на два типа: потенциальные и вихревые.

Если работа, совершаемая силами поля при перемещении тела (или заряда) из одного положения в другое, не зависит от траектории, а зависит только от начального и конечного положения перемещенного тела (или заряда), то такое поле называется потенциальным, а силы – консервативными (например, гравитационные, электрические поля неподвижных зарядов и др.).

Элементарная работа в поле тяготении (например, Земли, используя закон всемирного тяготения)

.

А конечная работа, совершаемая полем при перемещении тела массой m от точки R₁ до точки R₂ :

и зависит только от R₁ и R₂.

Элементарная работа в электростатическом поле как скалярное произведение векторов силы Кулона и перемещения (рис. 2.1):

dA= =F^.cosα^.ds,

имея в виду, что cosα^.ds= dr, а (рис.6.2), для dA получим:

.

Тогда конечная работа, совершаемая

электрическим полем заряда q при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2:

Как мы видим, эти работы определяются только начальным и конечным положением тела или пробного заряда q₀ ,т.е. гравитационные или электрические поля являются потенциальными. Так как эти работы совершаются за счет энергии поля (потенциальной энергии), то работа A_1→2 из точки 1 до точки 2 равна убыванию потенциальной энергии W_p:

. (6.2)

Сравнивая с А₁₂ для выражения потенциальной энергии электрического поля, получаем: .

Аналогично для потенциальной энергии гравитационного поля имеем: W_p =GMm/R+C.

Таким образом, работа потенциального поля равна убыванию потенциальной энергии поля , а это означает, что, если известно W( ), можно найти и, наоборот, при известной можно определить W( ):

W( ) = .

Как видим, потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной С, но это не страшно, т.к. в физических закономерностях W( ) обычно присутствует в виде дифференциала или как разность потенциальной энергии (просто выбирают целесообразный и оправданный нулевой уровень). Например, постоянную интегрирования С можно определить из условия, что с расстоянием влияние поля ослабевает и в бесконечности W_p (r→∞)=0, тогда С=0 (иногда в некоторых задачах за нулевой уровень потенциальной энергии гравитационного поля принимают поверхность Земли).

Потенциалом электрического поля (φ) называется физическая величина, равная отношению потенциальной энергии пробного точечного заряда, помещенного в рассматриваемую точку поля, к этому заряду:

. (6.3)

Как видно из (6.3), φ не зависит от значения пробного заряда q₀ и служит энергетической характеристикой электрического поля заряда q.

Сравнивая формулы (6.2) и (6.3), для работы потенциального поля получаем: =φ₁-φ₂ или А=q₀(φ₁-φ₂). (6.4)

Такую работу совершают силы поля, если заряд q₀ перемещается из точки с потенциалом φ₁ в точку с потенциалом φ₂, или, иными словами, разность потенциалов двух точек поля равна работе сил поля по перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую.

Учитывая условия нормирования потенциальной энергии поля (W_p (r→∞)=0), можно сказать, что потенциал поля равен работе, совершаемой полем при перемещении единичного положительного заряда из этой точки поля до бесконечности. Такое представление используется для определения единицы измерения потенциала электрического поля – Вольта. 1 Вольт является потенциалом такой точки электрического поля, при перемещении из которой заряда +1 Кл на бесконечность совершается 1 Дж работа.

1 Вольт (В)=1Дж/1Кл или 1 Вольт=

Теперь уже можно по-другому определить единицу измерения напряженности электрического поля как .

В атомной физике, астрофизике и химии за единицу энергии обычно принимается электрон-вольт (эв). За 1эв принимается такое количество энергии, которое приобретает электрон, пройдя разность потенциалов Δφ=1в.

Учитывая, что заряд электрона равен 1,6·10⁻¹⁹Кл, получим:

1эв=1,6^.10^-19 Кл^. 1 в=1,6^.10^-19Дж

Для сравнения: энергия теплового движения молекул при комнатной температуре (Т≈300К⁰) .

Если же работа поля зависит от траектории, то силы воздействия таких полей называются диссипативными или неконсервативными, а поля – вихревыми (непотенциальными). У вихревых полей не соблюдается важное свойство потенциальных полей: работа поля по замкнутой траектории не равняется нулю, как у потенциальных полей.

Магнитные поля и электрические поля, которые они создают, непотенциальны.

Принцип суперпозиции (или наложения, от латинского superposo - кладу наверх) для характеристик полей означает, что результирующая величина этих характеристик равна сумме (векторной или скалярной) характеристик отдельных полей.

Например, напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Принцип суперпозиции для потенциалов, создаваемых несколькими зарядами, означает, что потенциал φ результирующего поля равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

φ=φ₁+φ₂+φ₃+^…+φ_n=