2.6. Контрольні питання

1. Чи може рідина, що рухається, знаходитися в рівновазі? Якщо може, тоді за яких умов?

2. Дати визначення поверхні рівного тиску та вільної поверхні.

3. Якої форми набуває вільна поверхня рідини (або будь – яка інша поверхня рівного тиску) в посудині, що обертається навколо вертикальної осі зі сталою кутовою швидкістю? Чи залежить форма вільної поверхні від густини рідини?

4. Чи справедливе основне рівняння гідростатики для різних випадків відносного спокою рідини?

Лабораторна робота № 3 ілюстрація рівняння бернуллі при усталеній течії рідини в напірному трубопроводі

1. Мета роботи

Дослідним шляхом перевірити справедливість рівняння Бернуллі: зменшення повної енергії потоку при русі реальної рідини, перехід потенційної енергії в кінетичну й, навпаки, при русі в трубі зі змінним перерізом.

3.2. Теоретичні відомості

Рівняння Бернуллі є основним рівнянням гідродинаміки і встановлює зв’язок між трьома складовими енергії рухомої рідини – енергією положення, енергією тиску й кінетичною енергією.

Розглянемо спочатку струминку ідеальної рідини. Візьмемо два будь – які поперечні перерізи цієї струминки: 1 та 2. Швидкості рідини υ₁ та υ₂ у всіх точках відповідних перерізів для елементарної струминки є однаковими.

Рівняння Бернуллі для двох перерізів струминки ідеальної (нев’язкої) рідини має вигляд:

. (3.1)

Складові, що входять в рівняння (3.1), можна інтерпретувати з геометричної та енергетичної точок зору наступним чином.

З геометричної точки зору (рис. 3.1):

z – геометрична висота, м – відстань від довільної площини порівняння до центру тяжіння відповідного живого перерізу; - п’єзометрична висота, м (тобто висота такого стовпа рідини з густиною ρ, який біля своєї основи створює тиск р, що дорівнює тискові у відповідному перерізі; якщо у перерізах струминки встановити п’єзометричні трубки, тоді рідина в них підніметься на висоту р/(ρg)); - швидкісна висота або швидкісний напір, м.

Із гідростатики відомо, що вираз є п’єзометричним напором. Сума називається повним або гідродинамічним напором.

Для елементарної струминки ідеальної рідини =const, тобто сума геометричної, п’єзометричної та швидкісної висот або повний напір Н є величиною сталою вздовж струминки.

Рис. 3.1. Графічне зображення членів рівняння Бернуллі для елементарної струминки ідеальної рідини.

З енергетичної точки зору:

z – питома (віднесена до одиниці ваги рідини) потенційна енергія положення для відповідного перерізу струминки;

- питома потенційна енергія тиску;

- питома кінетична енергія;

- повна питома механічна енергія.

Рівняння (3.1) виражає закон збереження механічної енергії для струминки ідеальної рідини.

Тепер розглянемо струминку реальної (в’язкої) рідини. На шляху руху струминки в’язкої рідини виникають різного роду гідравлічні опори (наприклад, опори сил гідравлічного тертя). Позначивши втрату напору h_втр, що витрачається на подолання сил гідравлічних опорів між перерізами, запишемо рівняння Бернуллі для струминки реальної рідини:

. (3.6)

Потік реальної рідини складається з множини елементарних струминок. Щоб поширити на потік реальної рідини рівняння Бернуллі, одержане для елементарної струминки реальної рідини, необхідно записати його для великої кількості струминок, що складають потік, а потім їх скласти. Швидкості руху елементарних струминок в потоці різні, тому й кінетична енергія струминок різна. Якщо кінетичну енергію потоку виразити через середню швидкість υ_с і порівняти її із сумою кінетичних енергій елементарних струминок, то виявиться, що вона менша за останню. Тому у величину кінетичної енергії, визначену за середньою швидкістю, вводять коефіцієнт α (коефіцієнт Коріоліса), який дорівнює відношенню дійсної кінетичної енергії потоку в даному перерізі до кінетичної енергії, обчисленої за середньою швидкістю. Величина α залежить від епюри розподілення швидкості по перерізу потоку та режиму руху. Для ламінарного режиму руху – α=2. Для турбулентного режиму руху α=1,05...1,1, а для більшості практичних розрахунків для цього режиму можна прийняти α=1.

Рівняння Бернуллі для потоку в’язкої рідини має вигляд:

, (3.7)

де υ_с1 та υ_с2­ – середні швидкості в перерізах, що розглядаються (зазвичай індекс «с» не наводять); - коефіцієнти Коріоліса; h_втр – втрата напору на ділянці між перерізами 1 та 2.

Якщо для струминки ідеальної рідини рівняння Бернуллі являє собою закон збереження механічної енергії, то для потоку реальної рідини воно є рівнянням балансу енергій з урахуванням втрат. Енергія, що втрачається на даній ділянці течії (h_втр), перетворюється на теплову.

Як вже було зазначено вище, всі члени рівняння Бернуллі мають лінійну розмірність, що дає можливість представляти його у вигляді графіку, що називається діаграмою рівняння Бернуллі (рис. 3.2).

Розглянемо течію реальної рідини в каналі зі змінним перерізом. На рис. 3.2 показано відрізки вертикальних прямих, що відповідають кожній зі складових рівняння Бернуллі для трьох довільно обраних перерізів . При цьому z –вертикальна відстань від довільно обраної площини порівняння до центру тяжіння відповідного перерізу (геометрична висота); р/(ρg) – п’єзометрична висота; αυ²/(ρg) – швидкісна висота (швидкісний напір).

Сума трьох висот, як зазначено вище, називається повним напором. Лінія, що з’єднує відмітки гідродинамічних або повних напорів уздовж потоку, називається лінією повного напору. Лінія, що з’єднує відмітки п’єзометричного напору уздовж потоку, називається п’єзометричною лінією. При течії в’язкої рідини лінія повного напору має нахил униз у зв’язку з втратами напору h_втр. При течії ж ідеальної рідини втрат напору немає, тому лінія повного напору являє собою горизонтальну лінію (див. рис. 3.1).

Звуження потоку призводить до збільшення швидкості течії та, відповідно, швидкісного напору і до зменшення п’єзометричної висоти. На ділянці звуження п’єзометрична лінія знижується. Розширення потоку призводить до зворотного ефекту – п’єзометрична висота збільшується, а п’єзометрична лінія піднімається.

Рис. 3.2. Діаграма рівняння Бернуллі (геометрична інтерпретація) для потоку реальної рідини.

Для визначення п’єзометричної висоти використовують, як вже зазначено вище, п’єзометри. Якщо встановити в потоці трубку (трубку Піто), кінчик якої зігнутий під кутом 90⁰ отвором назустріч потоку та п’єзометр, тоді рідина в трубці Піто підніметься над рівнем у п’єзометрі на висоту Δh, що дорівнює швидкісному напору υ²/2g у точці заміру (рис.3.3).

Замірявши різницю висот підйому Δh рідини в трубці Піто та п’єзометрі, легко визначити швидкість рідини в даній точці: . Але слід пам’ятати, що таким способом визначається швидкість в даній точці рідини, а не середня швидкість у відповідному перерізі потоку, яка входить до складової швидкісного напору в рівнянні Бернуллі для потоку реальної рідини.

При розв’язуванні практичних задач за допомогою рівняння Бернуллі необхідно враховувати наступні вимоги. Рівняння Бернуллі справедливе лише для усталеного руху рідини і його можна застосовувати для тих живих перерізів потоку, в яких виконується умова повільно змінного руху, тобто коли кут розбіжності ліній течії та їх кривизна є незначними.