Модуль 1. Основні поняття теорії систем

Модуль вміщує такі теми: «Предметна область та основні поняття системного аналізу», «Методи системного аналізу», «Системний аналіз бізнес-процесів об‘єктів комп‘ютеризації», лабораторні роботи 1.1 – 1.4.

Лабораторна робота № 1.1 дослідження законів розподілу випадкових величин. Моделювання випадкових величин за рівномірним та нормальним законами розподілу

Мета роботи – вивчення методів генерації випадкових величин. Вивчення методів генерації корельованих випадкових величин.

1. Теоретичні відомості

Випадковою величиною називається величина, яка в результаті досвіду може прийняти те або інше значення, невідомо заздалегідь – яке саме. Випадкові величини розрізняють дискретного і безперервного типу. Можливі значення безперервних величин не можуть бути заздалегідь перераховані й безупинно заповнюють деякий проміжок.

Законом розподілу випадкової величини є співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини й відповідними їм ймовірностями.

Кореляція – статистичний взаємозв'язок двох або декількох випадкових величин (або величин, які можна з деяким припустимим ступенем точності вважати такими). При цьому, зміни однієї або декількох із цих величин приводять до систематичної зміни інший або інших величин.

Гістограма – це графічне зображення частоти потрапляння даних у задані інтервали.

Центральна гранична теорема це теорема в теорії ймовірностей, яка стверджує, що сума досить великої кількості слабко залежних випадкових величин, що мають приблизно однакові масштаби, має розподіл, близький до нормального.

1.1. Рівномірний закон розподілу

Безперервна випадкова величина має рівномірний розподіл на відрізку [a, b], якщо на цьому відрізку щільність розподілу випадкової величини постійна, а поза ним дорівнює нулю.

Рис.1.1. Графік щільності рівномірного закону розподілу

Щільність рівномірного закону розподілу (рис.1.3.) має вигляд:

Якщо функція та при .

Рис.1.2. Графік функції рівномірного закону розподілу

Таким чином (рис. 1.4),

1.2. Нормальний закон розподілу

Нормальний закон розподілу (розподіл Гауса) є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу при типових умовах, що часто зустрічаються. Сума досить великого числа незалежних випадкових величин, підлеглим яким завгодно законам розподілу, приблизно підкоряється нормальному закону розподілу й це виконується тем точніше, чим більша кількість випадкових величин підсумуються.

Рис.1.3. Нормальний закон розподілу (закон Гауса)

Нормальний закон розподілу (рис. 1.1.) характеризується щільністю ймовірності виду: , де m – математичне сподівання, σ – середнє квадратичне відхилення величини X.

Параметр σ характеризує не положення, а форму кривої розподілу. Це є характеристика розсіювання. При збільшенні σ максимальна ордината зменшується. При зменшенні σ крива розподілу витягається вгору, одночасно стискуючись із боків і стає більш голкоподібною.

Рис.1.4. Нормальний закон розподілу (закон Гауса)

Функція розподілу нормально розподіленої випадкової величини Х має вигляд (рис. 1.2):