10. Собственные векторы и собственные числа линейного преобразования
Вектор называется
собственным
вектором
данного линейного преобразования, если
для этого вектора имеет место равенство
,
где
- собственные числа вектора
.
Чтобы найти
собственные числа матрицы А,
составляют характеристическое уравнение
,
то есть
,
корни которого и есть собственные числа.
Чтобы найти
собственный вектор
,
для каждого собственного числа составляют
систему уравнений вида
.
Поскольку эта система нетривиально совместна, то ее ненулевое решение и будет собственный вектор. Заметим, что собственные векторы определяются неоднозначно, а с точностью до произвольного постоянного множителя с.
Пример
15. Найти
собственные числа и собственные векторы
линейного преобразование, заданного
матрицей
.
Решение. Составим характеристическое уравнение
и найдем его корни
- собственные числа
;
.
Для каждого собственного числа составим
однородные системы уравнений
для
;
для
.
Из которых следует,
соответственно
,
где с -
произвольная константа.