8. Базис. Размерность линейного пространства

Любой упорядоченный набор из n действительных чисел называется n-мерным вектором ; при этом указанные числа называются координатами вектора . Совокупность всех n-мерных векторов называется n-мерным векторным пространством .

В n-мерном векторном пространстве максимальное число линейно независимых векторов равно n , именно оно и называется размерностью векторного пространства.

Пример 10. Определить размерность пространства векторов .

Решение. Составим матрицу из координат векторов и подсчитаем ее ранг, приведением к ступенчатому виду

,

из чего следует, что только три вектора являются линейно независимыми, и размерность пространства равна трем.

Базисом векторного n-мерного пространства называют любую совокупность, состоящую из n линейно независимых векторов этого пространства (заданных в определенном порядке). Таким образом число векторов базиса совпадает с размерностью пространства. В n-мерном пространстве можно подобрать бесчисленное множество различных базисов. Всякий вектор n-мерного пространства единственным образом может быть представлен линейной комбинацией векторов его базиса – разложен по базису

(10)

Пример 11. Разложить вектор по базису, образованному векторами (см. пример 10).

Решение. Проверим, действительно ли векторы образуют базис. Для этого составим определитель третьего порядка из их координат и убедимся, что он отличен от нуля

.

Составим определитель четвертого порядка из координат векторов , добавив первый столбец, по которому и раскроем равный нулю определитель

,

получим равенство , из которого имеем искомое разложение

.

Базис называется ортогональным, если каждый его вектор ортогонален остальным векторам базиса (скалярное произведение любых двух векторов – сумма парных произведений их координат – равно нулю). Если все векторы ортогонального базиса имеют единичную длину, то базис называется ортонормированным. Примером такого базиса является декартов ортогональный базис . Найти координаты вектора в таком базисе можно, используя скалярное произведение, то есть по формуле

i=1,2,…,n.

(11)

Пример 12. Найти координаты вектора в ортогональном базисе, состоящем из векторов .

Решение. Найдем квадраты длин базисных векторов

.

По формулам (11) вычислим координаты вектора

.

Получено разложение вектора по ортогональному базису

.

9. Линейные преобразования

Пусть вектору из n-мерного векторного пространства по некоторому правилу ставится в соответствие вполне определенный вектор из . Это соответствие называется преобразованием векторного пространства и обозначается

,

(12)

где А – оператор преобразования, переводящего прообраз - в образ - . Всякое линейное преобразование – оператор А может быть задано соответствующей матрицей преобразования А и записано в виде матричного уравнения (12) или системы уравнений

.

(13)

Если матрица А невырожденная, то и оператор А невырожденный, и тогда существует обратное преобразование

,

(14)

которое получим, если слева умножим вектор на обратную матрицу .

Пример 13. Дано линейное преобразование

.

Найти преобразование, переводящее вектор в вектор .

Решение. Данное преобразование прямое, где

.

Искомое преобразование - обратное , осуществляет его матрица, обратная матрице А. Поскольку определитель матрицы А равен -63, то для нее существует обратная

,

тогда искомое преобразование

.

Поскольку линейное преобразование полностью характеризуется его матрицей, то действия над такими преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

Пример 14. Даны два линейных преобразования

.

Найти преобразование, переводящее вектор в вектор .

Решение. Первое преобразование определяется матрицей

и переводит вектор в вектор : . Второе преобразование определяется матрицей

и переводит вектор в вектор : . Искомое преобразование осуществляется произведением . Перемножим матрицы в указанном порядке

.

Искомое преобразование осуществляется матрицей

и может быть записано в виде системы уравнений

.