3. Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и умножение вектора на число.

Суммой двух векторов и называется вектор , соединяющий начало вектора с концом вектора , отложенного от конца вектора . Обозначается . Для геометрического представления суммы векторов используют правила «треугольника» (рис.3) и «параллелограмма» ( рис.4).

Рис. 3.

Р ис. 4.

Под разностью векторов и понимается вектор такой, что . Обозначение: .

Произведением вектора на число называется вектор , который имеет длину ,направление вектора , если и противоположное направление, если .

Свойства линейных операций:

1.  (переместительный закон);

2. (сочетательный закон сложения);

3. (сочетательный закон умножения); 

4. (распределительный закон относительно сумы чисел);

5. (распределительный закон относительно суммы векторов).

4. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

= .

(3)

Если хотя бы один из перемножаемых векторов нулевой, то угол неопределен и скалярное произведение по определению полагают равным нулю.

Свойства скалярного произведения:

1. (переместительный закон)

2. (распределительный закон)

3. (сочетательный закон по отношению к скалярному множителю)

4. - скалярный квадрат вектора, неотрицательное число, равное квадрату длины вектора.

5. , если =0, либо =0, либо перпендикулярен .

Если векторы заданы координатами , то скалярное произведение равно сумме парных произведений одноименных координат, то есть его удобно находить по формуле

.

(4)

Косинус угла между векторами

(5)

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов: и и угол между ними.

Решение. Скалярное произведение находим по формуле (4):

= - + =6-20+14=0, значит, вектора перпендикулярны.

Пример 3. Найти скалярное произведение векторов , если .

Решение: .

5. Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор , определяемый следующим образом (рис. 5):

φ

Рис. 5.

1) модуль вектора равен произведению длин перемножаемых векторов на синус угла между ними

(6)

2) вектор перпендикулярен перемножаемым векторам и ;

3) векторы , , после приведения к общему началу ориентированы по отношению друг к другу соответственно как орты i, j, k (в правой системе координат образуют так называемую правую тройку векторов).

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

Свойства векторного произведения:

1. то есть векторное произведение не обладает переместительным свойством;

2. (сочетательный закон по отношению к скалярному множителю);

3. (распределительный закон);

4. , если = 0, либо = 0, либо вектора коллинеарны || .

Векторные произведения координатных ортов

;

.

Если векторы заданы координатами , то их векторное произведение есть вектор, координаты которого получим, раскрыв по первой строке определитель третьего порядка, в первой строке которого орты , во второй и третьей – координаты перемножаемых векторов

(7)

Пример 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах .

Решение. Найдем векторное произведение (7)

.

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения

S= = =49 (кв. ед).