- •Предисловие
- •1. Введение
- •Общие понятия о моделировании
- •2.1. Принцип системного подхода в моделировании
- •2.2. Общая характеристика проблемы моделирования
- •2.3. Классификация видов моделирования
- •3. Простейшие модели систем
- •3.1. Модель маятника
- •3.2. Модель движения по быстрейшему пути с «отражением».
- •3.3. Модель популяций Мальтуса
- •3.4. Модель движения одноступенчатой космической ракеты
- •3.5. Простейшая модель изменения зарплаты и занятости
- •3.6. Макромодель экономического роста
- •3.7. Взаимодействие двух биологических систем (модель «хищник - жертва»)
- •4.2. Простейший пример имитационного моделирования (модель работы кассы)
- •4.3. Понятие о методе статистических испытаний
- •4.4. Об имитационном моделировании случайных факторов Моделирование случайных событий
- •4.5. Имитационная модель системы массового обслуживания
- •Математическая постановка задачи
- •Пример решения задачи
- •5.2. Модель источников формирования входного пассажиропотока строящейся станции Петербургского метрополитена «Волковская».
- •5.3. Моделирование влияния повышения квалификации машинистов локомотивного депо на количество брака в их работе
- •5.4. Моделирование распознавания технической железнодорожной документации
- •Введение
- •Постановка задачи
- •Вектор значимых признаков символа
- •Алгоритмы построения скелета символа
- •Модель процесса распознавания символов для технологических карт систем железнодорожной автоматики
- •Заключение
- •A.Модель нагрузки на руководителя среднего звена управления
- •Введение
- •1. Обобщённая имитационная модель работы руководителя среднего звена управления при разных нагрузках
- •1.1. Описание входных данных модели
- •1.2. Описание алгоритма работы руководителя
- •1.3. Анализ результатов работы модели
- •1.4 Выводы
- •2.Модель взаимоотношений руководителя с подчиненными
- •2.1. Общее описание математической модели
- •B.Анализ результатов моделирования
- •Моделирование оптимального управления поездами метрополитена
- •Моделирование функционирования тональных рельсовых путей
- •Формирование напряжения в путевом генераторе:
- •Моделирование обработки сигнала пг в путевом фильтре:
- •Моделирование прохождения сигнала по рельсовой линии (рл):
- •Моделирование обработки сигнала в путевом приемнике
- •480 Гц. При напряжении на входе с несущей частотой 480 Гц.
- •Обработка сигнала с выхода фильтра модулирующей частоты
- •Литература
4.3. Понятие о методе статистических испытаний
Метод статистических испытаний или, как его назвали во время его «изобретения», метод Монте – Карло - это численный метод решения математических задач при помощи имитационного моделирования случайных величин. Датой рождения метода принято считать 1949 год, когда появилась статья под названием «The Monte Carlo method» [7]. Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама [8].
Любопытно, что теоретическая основа метода была известна уже давно. Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины вручную – очень трудоемкая работа.
Само название «Монте – Карло» происходит от города Монте – Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом. Дело в том, что одним из простейших механических приборов для получения случайных величин является … рулетка.
Для того, чтобы лучше уяснить сущность метода рассмотрим пример.
Пример. Предположим, что нам нужно вычислить площадь плоской фигуры (Рис.4.3.1):
0
1
ж
Рис. 4.3.1. Схема статистических испытаний для определения площади криволинейной плоской фигуры
Это может быть совсем произвольная фигура с криволинейной границей, заданная графически или аналитически. Пусть это будет фигура, целиком расположенная внутри единичного квадрата. Выберем в квадрате N случайных точек (точки отмечены на рисунке маленькой русской буквой «ж» - для наглядности), координаты которых являются случайными величинами, равномерно распределенными внутри квадрата. Обозначим через N* число точек, попавших внутрь обозначенной границей области. Геометрически очевидно, что площадь S рассматриваемой фигуры приближенно равна отношению N* / N. Методами теории вероятностей можно доказать, что чем больше будет N, тем выше будет точность оценки. В примере, изображенном на Рис. 5.1, выбраны N = 33 точек. Из них N* = 11 оказались внутри области. Отсюда, S N* / N = 11/33 = 1/3 0.33.
На практике для вычисления площади плоской фигуры метод Монте – Карло не используют: для этого есть другие методы, хотя и более сложные, но зато обеспечивающие гораздо большую точность. Однако, указанный в нашем примере метод Монте – Карло позволяет столь же просто вычислять «многомерный объем» тела в многомерном пространстве. Этот же метод позволяет столь же эффективно вычислять двойные, тройные и, вообще, многомерные интегралы, а тот, кто имел с этим дело, хорошо представляет, насколько это не простая задача.
Отметим две особенности метода Монте – Карло.
Первая особенность метода – простая структура вычислительного алгоритма. Как правило, составляется программа для осуществления одного случайного испытания. Затем это испытание повторяется N раз, причем каждый раз опыт не зависит от всех остальных, и результаты всех опытов усредняются.
Поэтому метод Монте – Карло называют методом статистических испытаний.
Вторая особенность метода: ошибка вычислений, как правило, пропорциональна , где D – некоторая постоянная (дисперсия закона распределения имитируемой (разыгрываемой) случайной величины). Из этой формулы видно, что для того, чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N (то есть объем работы) в 100 раз. Ясно, что добиться высокой точности на таком пути невозможно. Поэтому говорят, что метод Монте – Карло особенно эффективен при решении тех задач, в которых результат нужен со сравнительно небольшой точностью.