Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

В. Г. ДЕГТЯРЕВ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Учебное пособие

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2010

УДК 519.6

ББК 22.19

С17

В.Г.Дегтярев

Математическое моделирование: Учебное пособие. - СПб.; ПГУПС. 2010

В настоящем пособии в доступной для студентов форме излагаются понятия о моделировании, вообще, и о математическом моделировании, в частности; о классификации видов моделирования; о системном подходе в моделировании; о математических схемах моделирования; о методе статистического моделирования; об имитационном моделировании. Приводятся примеры простейших математических моделей (маятник; модель популяций Мальтуса; модель взаимодействия двух биологических систем; модель изменения зарплаты и занятости; макромодель экономического роста). Рассматриваются также некоторые модели систем железнодорожного транспорта (имитационная модель системы массового обслуживания; модель оптимального регулирования порожними вагонами; модель пассажиропотоков в метрополитене). Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям «Прикладная математика», «Прикладная математика и информатика», «Системный анализ и управление», а также по другим специальностям и направлениям, в учебных планах которых есть дисциплина «Математическое моделирование». Пособие предназначено для студентов направлений «Прикладная математика и информатика», «Системный анализ и управление», а также для студентов тех специальностей и направлений, в учебных планах которых есть дисциплина «Математическое моделирование».

Рецензенты: заведующий кафедрой прикладной математики и информатики Балтийского государственного технического университета доктор физико-математических наук профессор С. Д. Шапорев и заведующий кафедрой высшей математики ПГУПС кандидат технических наук профессор В. В. Гарбарук.

Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры «Математика и моделирование», протокол № 2 от 24 ноября 2010 года.

Предисловие

Математическое моделирование – весьма обширный раздел математики. Он включает в себя как сугубо математические разделы собственно математики, используемые в моделировании, так и специальные методы моделирования, разработанные для этой цели. К первым относятся такие разделы как «Линейная алгебра», «Методы оптимизации», «Дифференциальные уравнения», «Теория графов», «Теория вероятностей и математическая статистика» и т. д. Ко вторым - «Линейное программирование», «Системы массового обслуживания», «Имитационное моделирование», «Динамическое программирование» и т. д.

Данное пособие имеет дело скорее со второй группой разделов математики, да и то не в полном объеме. Дело в том, что все разделы первой группы в технических вузах читаются, как правило, в курсе высшей математики. Впрочем, как и некоторые разделы второй группы. Данное же пособие рассчитано на сравнительно небольшой курс собственно математического моделирования, где предполагается, что все необходимые для изучения математического моделирования разделы математики студентами уже освоены в дисциплине высшая математика и в соответствующих специальных курсах.

С учетом всего вышесказанного, здесь даются необходимые сведения по моделированию, вообще, и по математическому моделированию, в частности. Приводятся некоторые простейшие модели. При этом подбор моделей осуществляется таким образом, чтобы в число отобранных попали некоторые знаменитые классические модели, а также так, чтобы отобранный набор моделей был разнообразен и по объектам моделирования и по применяемым для моделирования методам математики.

Естественно, должное место уделяется имитационному моделированию и методу статистических испытаний, являющихся в настоящее время самыми широко используемыми специальными методами моделирования.

И, наконец, что тоже естественно, для железнодорожного вуза приводится некоторый набор моделей для систем железнодорожного транспорта. Мы старались здесь также разнообразить как объекты моделирования, так и применяемые для моделирования математические методы. В число отобранных моделей систем железнодорожного транспорта вошли: модели оптимального управления вагонами; модели пассажиропотоков метрополитена; модели влияния различных факторов на качество работы машинистов локомотивного депо; модели оптимального управления поездами метро; модели функционирования тональных рельсовых путей; модели функциональных нагрузок руководителей среднего звена управления. Понятно, что такой набор железнодорожных моделей не мог быть составлен только из моделей автора и его учеников, а представляет собой сборник работ большого коллектива сотрудников кафедры «Математика и моделирование». И автор считает своим приятным долгом поблагодарить коллег, представивших свои работы в настоящее учебное пособие:

- Заслуженного деятеля науки РФ, академика, доктора технических наук,

профессора Герасименко Петра Васильевича;

- заведующего кафедрой, академика, доктора технических наук,

профессора Ходаковского Валентина Аветиковича;

- кандидата технических наук Кударова Руслана Сериковича;

- кандидата технических наук Кударова Рустема Сериковича;

- старшего преподавателя Бурсиан Елену Юрьевну.