§ 9. Нелинейная геометрическая оптика

В нелинейном изотропном диэлектрике без поглощения плоская световая волна имеет постоянное направление распространения и амплитуду в каждой точке пространства и описывается известным выражением

_(9.1)

Волновой вектор и частота связаны между собой дисперсионным уравнением

, (9.2)

где диэлектрическая проницаемость зависит от амплитуды .

Произвольные световые волны этими свойствами не обладают. Однако некоторые волны на каждом небольшом участке пространства и в малом интервале времени можно рассматривать как плоские и монохроматические. Если электрическое поле в такой световой волне записать в виде

(9.3)

то, очевидно, необходимо соблюсти условие, при котором амплитуда и фаза как функции координат и времени почти не изменялись бы на расстояниях порядка длины волны и в интервалах времени порядка периода колебаний света. Изучение законов распространения света в таких условиях составляет предмет нелинейной геометрической оптики.

На малых участках пространства и в малых интервалах времени фаза - почти линейная функция координат и времени. Разложив в ряд с точностью до членов первого порядка малости, получим

.

Введем определение волнового вектора и частоты плоской волны в точке и момент по формулам

; (9.4)

. (9.5)

в соответствии с фазой плоской монохроматической волны (9.1).

В световой волне дисперсионное уравнение (9.2) можно рассматривать как функцию частоты от волнового вектора и амплитуды поля

. (9.6)

Если подставить в (9.6) выражения (9.4) и (9.5), то получим основное уравнение нелинейной геометрической оптики, конкретный вид которого определяется диэлектрической проницаемостью. Например, в среде без пространственной и частотной дисперсии уравнение для фазы , которую называют эйконалом, имеет вид

, (9.7)

где фазовая скорость зависит от квадрата амплитуды поля и, следовательно, есть функция координат и времени. Для сред, в которых важную роль начинают играть эффекты запаздывания (частотная дисперсия) или явления пространственной дисперсии, уравнение (9.7) значительно усложняется.

Между геометрической оптикой и механикой материальной частицы существует известная аналогия. Умножим уравнения (9.4) и (9.5) на постоянную Планка и перепишем их в иной форме, введя обозначения , , :

; .

Первое из них есть определение импульса частицы через функцию действия , а второе уравнение Гамильтона-Якоби. Для нахождения траектории частицы часто используются также уравнения Гамильтона

; ,

эквивалентные уравнению Гамильтона-Якоби. Следовательно, для лучей световых волн можно написать аналогичные уравнения

; (9.8)

. (9.9)

В линейной оптике в однородной изотропной среде лучи распространяются по прямым линиям, при этом частота остается постоянной вдоль траектории луча. В нелинейной оптике это уже не наблюдается, поскольку частота зависит от амплитуды внешнего поля согласно (9.6), и, следовательно, искривление лучей в пространстве обусловлено распределением интенсивности света.

Существенно то, что в нелинейной оптике на фазу волны влияет амплитуда поля. В прозрачной среде для описания изменения амплитуды в пространстве и во времени можно использовать закон сохранения световой энергии

. (9.10)

Это уравнение непрерывности для плотности электромагнитной энергии. Таким образом, уравнение для эйконала (9.7) и уравнение (9.10) совместно определяют ход лучей в нелинейной оптике.

Теперь рассмотрим распространение в пространстве импульса света в виде волнового пакета, близкого к плоской монохроматической волне с волновым вектором и частотой . При малых отклонения от плоской волны произвольную зависимость частоты от волнового вектора в выражении (9.6) представим в виде ряда

, (9.11)

где - групповая скорость. Переопределим фазу следующим образом:

, (9.12)

где . Для новой фазы уравнения (9.5) и (9.6) принимают вид

; (9.13)

. (9.14)

Представим в последнем уравнении частоту как ряд (9.11) по степеням , вместо которых подставим уравнение (9.13). В результате получим уравнение для фазы, которое в данном случае эквивалентно уравнению для эйконала

. (9.15)

Применим изложенную выше методику к исследованию волновых пакетов, фаза и амплитуда которых зависит от координаты (одномерный случай). При этом уравнение (9.15) будет иметь вид

, (9.16)

в котором оставлены первые три члена ряда (9.11) и введено обозначение для групповой скорости . Уравнение (9.10) в этом приближении запишем следующим образом:

. (9.17)

При выводе этого уравнения использовано представление скорости

, (9.18)

где , и произведена замена на .

Далее перейдем к рассмотрению новых переменных

;

и новых обозначений

;

В результате вместо (9.16) и (9.17) получим уравнения

; (9.19)

, (9.20)

где .

Система уравнений (9.19, 9.20) аналогична уравнениям одномерной гидрогазодинамики [3]. Уравнение (9.19) эквивалентно уравнению Эйлера, где - скорость газа. Уравнение (9.20) есть уравнение непрерывности для плотности газа . Последний член уравнения (9.19) можно сопоставить с силой давления в гидродинамике

.

В адиабатическом процессе , где – скорость звука; - равновесная плотность газа. В нелинейной геометрической оптике

Таким образом, уравнения (9.19) и (9.20) соответствуют уравнениям гидродинамики с . Как и в гидродинамике, в нелинейной оптике имеют место аналогичные явления укручения огибающей волнового пакета и формирования ударной волны.