- •Глава I Классическое и квантовое описание оптического поля
- •§ 1. Коментарии к постулатам квантовой механики и квантовой оптики
- •§ 2. Классический гармонический осциллятор
- •§3. Квантовый гармонический осциллятор в стационарном состоянии
- •§ 4. Квантовый гармонический осциллятор в когерентном состоянии
- •5. Квантование электромагнитного поля в вакууме
- •§ 6. Уравнения максвелла для поля в среде
- •§ 7. Когерентность и монохроматичность электромагнитного поля
- •Глава II Распространение электромагнитной волны в нелинейной среде
- •§ 8. Общие представления о нелинейном отклике среды
- •§ 9. Нелинейная геометрическая оптика
- •§ 10. Нелинейное параболическое уравнение
- •§ 11. Устойчивость плоской волны в нелинейной среде
- •§ 12. Солитоны
- •§ 13. Самофокусировка и самоканализация
- •Глава III Нелинейные восприимчивости
- •§14. Нелинейная связь между поляризацией и электрическим полем
- •§15. Классификация нелинейно-оптических эффектов
- •§16. Модель ангармонического осциллятора
- •§17. Общая теория нелинейных восприимчивостей для произвольной квантовомеханической системы
- •Глава IV
- •§18. Генерация оптических гармоник
- •§19. Пространственный синхронизм
- •§20. Резонансная генерация третьей гармоники
- •§21. Методы создания фазового согласования
- •22. Параметрические взаимодействия
- •§23. Вынужденное рассеяние мандельштама-бриллюэна (врмб)
- •4.Правило нахождения Гамильтониана
- •5.Постулат тождественности
§ 6. Уравнения максвелла для поля в среде
В классической физике электромагнитное поле описывается уравнениями Максвелла. Они определяют величину электрического и магнитного полей в пространстве и времени по заданному распределению зарядов и токов. Если среда достаточно плотная, так что среднее расстояние между частицами среды весьма мало по сравнению с характерными длинами волн, то в уравнениях Максвелла можно
перейти от микроскопических величин, определяемых в данной точке пространства, к средним значениям вблизи этих точек. Причем усреднение проводится по объемам, размеры которых заведомо превосходят межатомные, но значительно меньше длины волны. Такая процедура справедлива для оптического диапазона в конденсированных средах – жидкостях, твердых телах и плотных газах, но становится неверной в далеком ультрафиолетовом и рентгеновском диапазонах.
Уравнения Максвелла для усредненных сред имеют вид (5.2), в эти уравнения необходимо ввести дополнительное слагаемое с током
(6.1)
(6.2)
причем каждая из макроскопических величин , и является средней по малым объемам соответствующих микроскопических величин. К уже написанным уравнениям обычно добавляют два других:
, , (6.3)
которые являются следствием предыдущих, в чем можно убедиться, если учесть, что и уравнение непрерывности для плотности тока и зарядов
. (6.4)
Иногда на практике более удобной оказывается иная форма записи уравнений Максвелла. Введем вектор электрической индукции:
. (6.5)
Если подействовать оператором на левую и правую стороны уравнения (6.2) и после этого подставить в него уравнение (6.1), то с учетом последнего выражения (6.5) получим уравнение
, (6.6)
которым будем широко пользоваться в последующих главах.
Средняя плотность тока создается в среде внешними полями или проходящими через среду внешними зарядами, и вид тока определяется конкретным состоянием вещества. При прохождении электромагнитных волн через среду наведенный ток представляет собой сложную функцию электрического и магнитного полей, а также его производных по координатам и времени.
Для таких сред, как классическая плазма, электроны в металле, носители тока в полупроводниках, ток определяется посредственным движением зарядов под действием лоренцовой силы, при этом только необходимо правильно учитывать кинематику движения электронов в твердых телах (закон дисперсии). Вычисление тока в этом случае предполагает решение соответствующего кинетического уравнения.
Для диэлектриков и полупроводников без носителей тока представлять ток удобно в виде ряда по мультипольным моментам. Так как область движения локализованных электронов ограничена атомными расстояниями, то в оптическом диапазоне выражению тока через мультипольные моменты эквивалентно разложению в ряд по малому параметру .
Разложение тока по мультипольным моментам произведем следующим образом: запишем микроскопическую плотность тока
, (6.7)
где суммирование проводится по всем заряженным частицам среды. Очевидно, что возникает цепочка тождеств:
, (6.8)
где . Далее, последнее слагаемое преобразуем, используя равенства
(6.9)
С учетом (6.8) и (6.9) выражение для тока запишем так:
. (6.10)
первый член в выражении (6.10) содержит плотность дипольного момента
, (6.11)
второй член – плотность магнитодипольного момента среды
, (6.12)
третий – плотность квадрупольного момента
. (6.13)
Дипольный момент пропорционален первой степени , магнито-дипольный и квадрупольный содержат квадратичные комбинации типа и , последующие мультипольные моменты будут содержать более высокие степени для координат и скорости частиц.
Четвертый член
. (6.14)
Выделение последующих мультипольных моментов производится по аналогии с вышеизложенной процедурой.
Произведем усреднение по малым объемам вблизи точки , то есть перейдем от рассмотрения микроскопического тока к макроскопическому:
. (6.15)
Для первых трех моментов получим
; ; . (6.16)
Эти макроскопические величины являются функциями координаты . Суммирование здесь проводится по числу частиц, содержащихся в единице объема. Выражение для макроскопического тока совпадает с (6.10).
Относительно полученных усреднений моментов (6.11) – (6.13) необходимо сделать важное замечание: эти моменты определены неоднозначно и зависят от выбора определенной системы координат. Только при специальных условиях эти выражения определяют моменты однозначно. Действительно, пусть моменты определены в двух системах отсчета, радиусы-векторы в которых связаны между собой через некоторый постоянный вектор
. (6.17)
Для дипольных моментов связь будет выражена таким образом:
. (6.18)
Следовательно, дипольный момент определен однозначно лишь в том случае, когда заряд единичного объема среды равен нулю: . Для магнитодипольных моментов связь имеет вид
, (6.19)
откуда следует, что однозначное определение магнитного момента соответствует условию: , то есть в том случае, когда вклад в усредненный ток от первого члена выражения (6.10) равен нулю. Наконец, связь квадрупольных моментов описывается формулой
, (6.20)
Из которой легко заключить, что для однозначного определения квадрупольного момента необходимы условия: и . В этом случае более удобно определить квадрупольный момент как
. (6.21)
Последнее слагаемое дает нулевой вклад в ток (6.10), но поскольку сумма диагональных элементов тензора , то независимыми являются лишь два (из трех) главных значения.
В случае, когда движение валентных электронов ограничено атомными расстояниями и оптическими частотами, выражение для тока (6.10) есть разложение по малому параметру . Действительно, полагая ; в (5.10), находим:
; ; ,
где - плотность молекул конденсированного вещества.
Далее, умножая скалярно уравнение Максвелла (6.1) на величину электрического поля , а уравнение (6.2) – на и вычитая из первого второе, получим после векторных преобразований уравнение сохранения энергии
. (6.22)
Для вакуума, где ток равен нулю ( ), последнее можно записать в виде уравнения непрерывности:
, (6.23)
где поток энергии электромагнитного поля
, (6.24)
а плотность энергии
(6.25)
Последний член в (6.22) описывает взаимодействие поля с веществом. Подчеркнем, что этот член не только показывает влияние вещества на плотность энергии в единице объема, но также приводит к изменению потока энергии. Действительно, подставим выражение для тока (6.10) в (6.22) и после простых преобразований получим уравнение типа (6.23), где поток и плотность энергии определяются формулами
,
где ; .
Таким образом, вектор Умова-Пойнтинга включает в себя магнитодипольные и квадрупольные эффекты, а плотность энергии содержит изменение энергии электромагнитного поля (6.25), а также включает работу, производимую электромагнитным полем над веществом.