Глава I Классическое и квантовое описание оптического поля

§ 1. Коментарии к постулатам квантовой механики и квантовой оптики

В экспериментах по интерференции и дифракции световых лучей ярко проявляются волновые свойства электромагнитного и, в частности, оптического поля излучения, тогда как при поглощении и испускании излучения атомными частицами (изолированными или входящими в состав молекул, кластеров и конденсированных фаз вещества) свет ведет себя как совокупность элементарных частиц - фотонов. Более или менее удовлетворительное описание оптических полей даёт квантовая теория (квантовая электродинамика), которая объясняет оба эти противоречивые свойства.

В классической физике все физические объекты удаётся четко подразделить на волны и частицы (или на объекты, состоящие из совокупности таких образований). Однако для реальных физических явлений понятия волны и частицы являются приближенными, и нельзя провести строгой границы между ними. То, что представляет собой волну в классическом понимании, при определенных условиях может вести себя как частица или их совокупность (например, фононы для звука, фотоны для света и т.д.). И наоборот, то, что по классическим представлениям считается частицами, может образовывать чисто классические волны (например, электроны в куперовских парах в сверхпроводниках).

Из многочисленных экспериментов, сделанных главным образом в начале ХХ века, стало ясно, что и фотоны и атомные частицы проявляет себя одновременно в двух аспектах: волновом и корпускулярном. Причём нельзя, например, рассматривать свет ни как поток классических корпускул, ни как суперпозицию классических волн, не входя в противоречие с экспериментом. То же касалось и атомных частиц. Если придерживаться классической физики, то связное и непротиворечивое описание всей совокупности того или иного физического явления атомного масштаба невозможно. В зависимости от условий эксперимента для его истолкования приходится неизбежно прибегать к одному из двух несовместимых представлений: или потоку корпускул, или суперпозиции волн. При этом возникающий дуализм волна - частица следует интерпретировать на статистической основе, постулируя, что интенсивность соответствующей волны в некоторой точке пространства пропорциональна вероятности обнаружения в этой точке соответствующей корпускулы.

Из эксперимента также однозначно следовало квантование значений некоторых физических величин, например таких, как энергетические уровни атомов или квантование ориентации магнитных моментов электронов, ядер, атомов и молекул. Эти факты делали несостоятельной концепцию, согласно которой вещество состоит из корпускул, движение которых подчинено законам классической механики.

Современная квантовая механика позволяет преодолеть эти трудности, по крайней мере в нерелятивистском приближении для материальных частиц.

Обратимся к краткому рассмотрению основных положений современной квантовой теории в сравнении с классической (см. приложение А). Уже беглый просмотр их показывает, что они совсем не так ясны и понятны как постулаты классических теорий. Они потеряли наглядность. Для их понимания требуется освоить новый математический язык. Это не должно нас удивлять, ибо мы пытаемся проникнуть в области атомных масштабов, где большинство наших привычных представлений, выработанных на чувственном, повседневном опыте, вовсе не обязаны быть адекватными. Представьте на минуту, что мы были бы двумерными существами типа амёб и жили бы на поверхности шара. Мы не смогли бы наглядно представить шар, так как наш чувственный опыт был бы основан на круге. Шар нам казался бы "странным кругом".

В первом постулате, в отличие от классики, чётко формулируется, что может быть измерено на опыте. Дело в том, что в соответствии с современной точкой зрения во всякой физической теории следует отличать понятия и величины, экспериментально наблюдаемые от ненаблюдаемых. Первые по необходимости должны фигурировать в теории. Вторые можно модифицировать, а лучше исключить из рассмотрения вовсе. Примером экспериментально необоснованного понятия является электронная орбита, так как не удаётся одновременно и с достаточной точностью измерить импульс и координату электрона, скажем, в атоме водорода, находящегося в некотором состоянии с точно фиксированной энергией. Этот опытный факт, т.е. невозможность одновременного и сколь угодно точного измерения некоторых пар динамических переменных, в данном случае х и р, уже содержится неявно в первом постулате. В нем сказано, что наблюдаемым соответствуют определенные математические характеристики - операторы. Какие конкретно, мы узнаём из других постулатов. Алгебра операторов отличается от алгебры чисел тем, что произведение пары операторов друг на друга может зависеть от их перестановки местами. Такие пары операторов называются некоммутирующими. Логические следствия из постулатов квантовой механики с неизбежностью приводят к выводу, что для некоммутирующих операторов существуют соотношения неопределенностей Гейзенберга. Например, для координаты х и импульса р они имеют хорошо известный вид: ХР≥h, а для фазы световой волны φ и числа её фотонов N также существует аналогичное соотношение: ΔNΔφ≥1. Если число фотонов точно фиксировано, т.е. ΔN=0, то фаза такой волны становится полностью неопределенной, тогда как для точно определенной фазы, т.е. когда Δφ=0, абсолютно неопределенной будет величина N и, следовательно, пропорциональная ей интенсивность света. Подчеркнем, что в соответствии с постулатами классической физики фаза и амплитуда любой монохроматической волны могут быть измерены одновременно и, в принципе, нет никаких ограничений на точность их измерения.

Во втором постулате вводиться правило вычисления вероятности измерения наблюдаемой. Для этого надо найти или знать заранее волновую функциюΨ(x) =<х|ψ> исследуемой системы. {Здесь |ψ> есть вектор состояния системы в некотором абстрактном (гильбертовом) пространстве, а скалярное произведение <х|ψ> можно назвать проекцией вектора состояния на ось х. В этом смысле сопряженный вектор <х| есть орт оси х. Такой математический язык и обозначения были введены Полем Дираком. Они оказались очень удобными и широко употребляются в квантовой физике.} Затем найти амплитуду вероятности а_n=<n|ψ> для некоторой интересующей нас наблюдаемой n и вычислить саму вероятность, возведя амплитуду по модулю в квадрат: W_n=Iа_nI². Этот постулат содержит в себе принцип суперпозиции и редукции волнового пакета.

Способ нахождения волновой функции, описывающей состояние замкнутой атомной системы, сформулирован в третьем постулате. Для этого необходимо решить уравнение Шредингера, в которое входит постоянная Планка. Квантовая система характеризуется оператором энергии - гамильтонианом, который входит в правую сторону уравнения Шредингера.

Четвёртый постулат есть правило получения гамильтониана. Здесь хорошо видно, что классическая механика составляет необходимый элемент постулатов новой теории: знание классической функции Гамильтона определяет вид гамильтониана. В этом же месте постулируется вид операторов координаты и импульса. Четвёртый постулат имеет несколько эквивалентных формулировок. В частности операторы х и р можно задавать коммутационными соотношениями (коммутаторами).

Наконец последний, пятый постулат определяет важнейшее свойство атомных частиц - их тождественность. Идентичность фотонов, электронов, нейтронов, протонов и многих других элементарных частиц есть исключительное свойство микромира, неизвестное в классической физике. Именно постулат тождественности приводит нас к принципу Паули, который является основой построения периодической системы элементов, первоначально введённой Дмитрием Менделеевым в прошлом веке, и без которого невозможно понять устойчивость и физико-химические свойства окружающих нас веществ на основе только классических представлений.

Квантовая механика представляет собой вполне замкнутую, завершённую теорию наряду с классической механикой Ньютона, статистической термодинамикой Гиббса и электродинамикой Максвелла вместе со специальной теорией относительности Эйнштейна.

Важно также отметить те следствия классической физики, которые сохраняют свою силу и в квантовой теории. Это - фундаментальные законы сохранения энергии, импульса и момента импульса, которые остаются справедливыми для явлений в микроскопических масштабах. Далее, классические закономерности имеют место в тех случаях, когда квантовые скачки пренебрежимо малы в сравнении с характерными величинами физического явления, т. е. "классика макроскопически корректна".

Важными критериями законченной теории не только в физике, но и в любой другой области точных наук, является: 1)наличие в ней четко сформулированной, внутренне непротиворечивой аксиоматики (т.е.совокупности фундаментальных понятий, постулатов или принципов, принимаемых без доказательств) и 2) способность этой теории описать разнообразные обширные области опытных данных. Каждая из этих теорий обладает чёткой системой понятий и аксиом (постулатов) наподобие геометрии Евклида или Лобачевского, где все основано на пяти постулатах. Каждая из этих теорий остается верной в тех областях опыта (то есть, в областях фундаментальных экспериментов и индустриальных технологий), которые могут быть описаны с помощью введённых понятий и принципов. Степень завершённости этих теорий настолько высока, что никакие постепенные усовершенствования невозможны без радикального изменения их основ. Таких постулатов должно быть не слишком много - ,так сказать, порядка "пяти". По возможности, они должны быть сформулированы на понятном языке и быть наглядными. Но это вовсе не обязательно. Если для их изложения удобно и экономно применить более сложные и менее наглядные формы понятий и логики, как это представлено в приложении 1А для квантовой механики, это должно быть сделано, и этим новым языком надо научиться свободно пользоваться.

Итак, если принять все эти постулаты нерелятивистской квантовой механики как незыблемые аксиомы и, вместе с ними, все выводы, теоремы и следствия, полученные на их основе, то в дальнейшем остаётся только последовательно применять методы квантовой механики для теоретических предсказаний и сравнивать их с результатами эксперимента.

В этой главе представлены основы квантовой оптики - её важнейшие понятия , постулаты, принципы и методы. Подробно излагается квантовое и классическое описание электромагнитного поля, выводятся соотношения неопределенности, рассматриваются вопросы когерентности оптических пучков света.