- •Учебно-методические материалы Теоретический курс Тема 1. Задачи теории игр в экономике Математические модели игр
- •Основные понятия
- •Классификация игр
- •Тема 2. Математические модели игр
- •Тема 3. Антагонистические игры Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цены игры в чистых стратегия
- •Тема 4. Решение антагонистической игры с седловой точкой
- •Тема 5. Смешанные стратегии
- •Тема 6. Функции выигрыша в смешанных стратегиях
- •Тема 7. Решение игры в смешанных стратегиях
- •Тема 8. Критерии и свойства оптимальных стратегий
- •Тема 9. Принцип доминирования
- •Тема 10. Игры 2хп
- •Тема 11. Игры
- •Тема 12. Игры и их решение с помощью линейного программирования
- •Тема 13. Игры в условиях риска
- •Тема 14. Принятие решение в условиях риска на основе модели игры с природой
- •Тема 15. Игры в условиях неопределенности. Критерий принятия решений
- •Тема 16. Позиционные игры Понятие позиционной игры и ее нормальной формы
- •Графическое представление позиционной игры
- •Определение позиционной игры
- •Позиционные игры с полной информацией
- •Позиционные игры с идеальной памятью
Тема 11. Игры
В этом параграфе рассмотрим игру , в которой игрок обладает чистыми стратегиями , а игрок - двумя чистыми стратегиями и . Матрица игры имеет вид
A= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
… |
|
|
|
|
Известно, что показатель неэффективности стратегии , , , , игрока имеет вид
.
Если обозначить , то и
. (11.1)
Таким образом, показатель неэффективности стратегии есть верхняя огибающая линейных функций , зависящих от вероятности , график каждой из которых представляет собой отрезок определенного наклона в зависимости от знака углового коэффициента этой функции.
Если стратегия удовлетворяет равенству
(11.2)
где — множество всех смешанных стратегий игрока В, то по основной теореме фон Неймана она является оптимальной. Таким образом, абсцисса минимальной (наинизшей) точки верхней огибающей определяет оптимальную стратегию ,по которой игрок В случайным образом выбирает свои чистые стратегии с вероятностью и с вероятностью .
По той же теореме фон Неймана цена игры
, (11.3)
т. е. цена игры V равна ординате минимальной точки верхней огибающей.
Из сказанного легко сформулировать алгоритм "В" геометрического нахождения оптимальных стратегий игрока В и цены игры V(см. рис. 17.1).
Рис. 11.1
Алгоритм "В"
Берем горизонтальный отрезок [0,1].
Через концы отрезка [0,1] проводим к нему два перпендикуляра: левый и правый.
На левом перпендикуляре, лежащем на вертикальной числовой оси, от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем все элементы первого столбца матрицы А.
На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все элементы второго столбца матрицы А.
Каждую пару точек, изображающих элементы и , стоящие в строке матрицы А, соединяем отрезком в результате чего построим отрезков, представляющих собой графики линейных функций
(11.4)
Если все отрезки , имеют неотрицательный наклон, т. е. положительный или нулевой (другими словами, все отрезки - неубывающие: , то стратегия , доминирует стратегию . Если все отрезки , имеют положительный наклон, т. е. являются возрастающими: , то стратегия строго доминирует стратегию .
Если все отрезки , имеют неположительный наклон, т. е. отрицательный или нулевой (другими словами, все отрезки , - невозрастающие: , то стратегия доминирует стратегию . Если все отрезки , имеют отрицательный наклон, т. е. являются убывающими: , то стратегия строго доминирует стратегию .
Отрезок лежит не ниже отрезка , , то стратегия доминирует стратегию . Если отрезок лежит выше отрезка , , то стратегия строго доминирует стратегию .
Находим (выделяем) верхнюю огибающую (17.1) семейства отрезков (17.4), представляющую собой в общем случае выпуклую вниз ломаную, которая, в частности, может быть и отрезком.
На верхней огибающей находим минимальную (наинизшую) точку (точки).
Абсцисса минимальной точки (удовлетворяющая равенству (17.2)) является вероятностью случайного выбора игроком В чистой стратегии В2 в оптимальной смешанной стратегии .
Ордината минимальной точки верхней огибающей является ценой игры (см. (17.3)).
Верхний из нижних концов отрезков , является нижней ценой игры в чистых стратегиях .
Нижний из концов верхней огибающей (лежащих на перпендикулярах) является верхней ценой игры в чистых стратегиях .
Элемент матрицы А, представленный на рисунке точкой являющейся нижним концом отрезка, на котором она лежит, и верхним на перпендикуляре, которому она принадлежит, является седловой точкой игры. В этом случае чистая стратегия игрока А, номер которой совпадает с первым индексом седловой точки, является оптимальной.
На рис. 17.1 из т отрезков , указаны четыре , первые три из которых принимают участие в конструировании верхней огибающей, выделенной" жирной линией. Точка М - минимальная точка этой верхней огибающей, имеющая своей абсциссой . Поэтому - оптимальная смешанная стратегия игрока В. Ордината точки М есть цена игры V. Нижняя цена игры в чистых стратегиях , верхняя цена игры в чистых стратегиях . Так как среди отрезков - имеются отрезки с положительным и отрицательным наклонами (например, отрезок имеет положительный наклон, а отрезок - отрицательный), то стратегия В2 не доминирует и не доминируется стратегией . Так как отрезки и лежат выше отрезка , то каждая из стратегий и строго доминирует стратегию . Оптимальную стратегию игрока В и цену игры V можно подсчитать и по формулам, которые даются в следующей теореме.
Теорема 11.1. Если через минимальную точку М верхней огибающей отрезков , порождаемых чистыми стратегиями , , игрока А, проходят два каких-либо отрезка и , , то абсцисса точки М
и, следовательно,
,
а цена игры
.
Теорема 11.2. Пусть через минимальную точку М верхней огибающей отрезков , порождаемых чистыми стратегиями А , , игрока А, проходят два каких-либо отрезка и , .
Для того чтобы смешанная стратегия игрока А, где
,
была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы отрезки и , имели разные наклоны.