- •Розділ 4. Похідна і диференціал функцій однієї змінної
- •4.1. Похідна функції в точці Нехай функція визначена в деякому околі точки .
- •4.2. Деякі задачі, що приводять до поняття похідної
- •1. Задача про швидкість руху. Механічний зміст похідної
- •2. Задача про дотичну. Геометричний зміст похідної
- •Тому, рівняння дотичної буде
- •Задача про продуктивність праці. Економічний зміст похідної
- •4. Інші економічні задачі, в яких використовується поняття похідної
- •4. Граничні витрати, доход, прибуток
- •4.3. Золоте правило економіки
- •4.4. Зв’язок між неперервністю та диференційованістю функцій
- •4.5. Правила диференціювання
- •4.6. Похідні основних елементарних функцій
- •8. Похідні вищих порядків
- •4.7. Диференціал функції і наближені обчислення
- •4.8. Логарифмічна похідна
8. Похідні вищих порядків
До цього часу ми розглядали похідну від функції ,яку називають похідною першого порядку. Але похідна сама є функцією, яка може мати похідну.
Означення. Похідною n-го порядку називається похідна від похідної (n-1)-го порядку.
Позначення похідних: – другого порядку (або друга похідна), – третього порядку (або третя похідна).
Для позначення похідних вищих порядків використовуються арабські цифри і дужки або римські цифри, наприклад, або і т.д.
Приклад. Знайти перші три похідні від функції
Розв’язання. .
4.7. Диференціал функції і наближені обчислення
Згідно з означенням похідної функції маємо
.
З другого боку, змінна величина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу , тому
. (8)
У формулі (8) доданок є нескінченно малою величиною вищого порядку, ніж .
З цього випливає, що при перший доданок у формулі (8) є головною частиною приросту функції. Він є лінійним відносно .
Означення. Головну лінійну частину приросту функції називають диференціалом цієї функції. Диференціал функції позначають через або .
Таким чином
.
Якщо взяти , тоді , а отже . Тому можемо записати формулу для обчислення диференціала у вигляді
.
З останньої рівності одержуємо, що , тобто похідну від функції можна трактувати як відношення диференціалу функції до диференціалу незалежної змінної.
Так як при , та із формули (8) випливає, що похибка у наближеній рівності
(9)
дорівнює і є нескінченно малою більш високого порядку ніж , коли
Рівність (9) часто використовується у наближених обчисленнях.
Якщо , то і рівність (9) набуває вигляду
.
Приклад 1. Нехай . Оскільки , то при достатньо малих х маємо .
Аналогічно можна показати, що при достатньо малих х мають місце наближені рівності , , , .
Приклад 2. Нехай r – ставка банківського відсотку (за рік). Знайдемо кількість років n, на протязі яких початкова сума внеску збільшиться у два рази. Оскільки за n років внесок збільшиться в раз, то фактично нам потрібно розв’язати рівняння .
Логарифмуючи це рівняння, одержимо . Звідки .
Замінюючи логарифм у знаменнику його наближеним значенням, одержимо . Так як , то час подвоєння внеску буде (правило сімдесят).
Якщо, наприклад, відсоткова ставка – 10%, то час подвоєння внеску буде приблизно 7 років. А більш точне значення роки.
4.8. Логарифмічна похідна
Означення. Логарифмічною похідною додатної функції називається похідна . Оскільки , то згідно правила диференціювання складної функції одержимо наступне співвідношення для логарифмічної похідної: .
Якщо похідну розглядати як швидкість зміни функції у, то величину природно вважати її відносною швидкістю зміни або її темпом росту.
Застосування логарифмічної похідної. Нехай – наближена величина внеску в момент часу t. Чи можна визначити (наближено) ставку банківського відсотку r за допомогою функції К(t)? Якщо відсотки нараховуються один раз за період часу ∆t, то відсотки за вказаний період будуть дорівнювати (ми вважаємо, що r номінальна ставка за рік, ∆t – частка року). Оскільки приріст внеску і відсотки від внеску – теж саме, то . Звідси
.
Нехай функція має похідну . Тоді приріст функції можемо (наближено) замінити на диференціал , в результаті чого одержимо
.
Висновок: ставка банківського відсотка r співпадає з логарифмічною похідною від величини внеску.
Приклад. Нехай , де t – число років від відкриття внеску, К0 – величина внеску в початковий момент часу t=0. Тоді ми можемо визначити, як змінювалась ставка відсотку . Дійсно
або у відсотках .
Так, через два роки після відкриття внеску ставка була річних, через 5 років ставка зменшилась до 25% річних і т.д. Відмітимо, що абсолютна швидкість росту внеску при цьому не спадала, а зростала, оскільки .
Завдання для самостійної роботи
1. Знайти похідні першого порядку заданих функцій:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Знайти похідні першого порядку функцій, заданих неявно та параметрично:
|
|
3. Який кут утворює з віссю абсцис дотична парабола , яка проведена в точці М(2;3)? Записати рівняння цієї дотичної.
4. Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої в точці М(1;-1)
5. Скласти рівняння дотичної до гіперболи , проведеної в точці М(-9;-8).
6. Знайти похідні другого порядку:
а) , б) , в) , г) , д) ,
е) , ж) , з) .
7. Знайти похідні третього порядку: а) , б) .
8. Обчислити наближені значення:
а) , б) , в) , г) .