- •Розділ 4. Похідна і диференціал функцій однієї змінної
- •4.1. Похідна функції в точці Нехай функція визначена в деякому околі точки .
- •4.2. Деякі задачі, що приводять до поняття похідної
- •1. Задача про швидкість руху. Механічний зміст похідної
- •2. Задача про дотичну. Геометричний зміст похідної
- •Тому, рівняння дотичної буде
- •Задача про продуктивність праці. Економічний зміст похідної
- •4. Інші економічні задачі, в яких використовується поняття похідної
- •4. Граничні витрати, доход, прибуток
- •4.3. Золоте правило економіки
- •4.4. Зв’язок між неперервністю та диференційованістю функцій
- •4.5. Правила диференціювання
- •4.6. Похідні основних елементарних функцій
- •8. Похідні вищих порядків
- •4.7. Диференціал функції і наближені обчислення
- •4.8. Логарифмічна похідна
4.4. Зв’язок між неперервністю та диференційованістю функцій
Теорема. Якщо функція диференційована в деякій точці , то вона в цій точці неперервна.
Доведення. Якщо функція диференційована в деякій точці , то згідно з означенням похідної при існує
.
В силу того, що границя змінної величини відрізняється від самої змінної на нескінченно малу величину , то маємо:
. (7)
Оскільки – постійна, то з властивостей нескінченно малих величин випливає, що обидва доданки в правій частині є нескінченно малі величини. Із (7) випливає, що . Тобто функція неперервна.
Наслідок. З наведеної теореми випливає, що неперервність функції є лише необхідною умовою диференційованості функції. Це означає, що в точках розриву функція не має похідних, тобто вона недиференційована.
Н
Рис. 4
Н
Рис.
3
, .
Тобто границя залежить від способу прямування (Рис. 4).
4.5. Правила диференціювання
Похідна постійної величини С дорівнює нулю, тобто
.
Доведення. Дійсно, нехай y=C, тоді Δy=0 для будь-якого Δx, в тому числі і при Δx→0. Тоді, згідно з означенням похідної
,
що і треба довести.
Якщо функції u=u(x) і v=v(x) диференційовані в точці x, то похідна суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) похідних, тобто
.
Доведення. Згідно означення похідної
.
Якщо функції u=u(x) і v=v(x) диференційовані в точці x, то добуток цих функцій також має похідну, яка знаходиться за формулою
.
Доведення. Згідно означення похідної
Якщо функції u=u(x) і v=v(x) диференційовані в точці x і v(x)≠0, то добуток цих функцій також має похідну, яка знаходиться за формулою
.
Доведення. Знайдемо приріст частки функції:
.
Згідно означення похідної
Якщо і функції f та φ диференційовані своїх аргументів, то існує похідна по х складної функції , яка знаходиться за формулою
.
Якщо функція має обернену функцію і в точці похідна , тоді обернена функція диференційована в точці і її похідна знаходиться за формулою
або .
4.6. Похідні основних елементарних функцій
Похідна логарифмічної функції. Якщо , то .
Доведення. Нехай х довільна точка із (0,∞). Візьмемо приріст аргументу і знайдемо приріст функції
.
Тому
.
Звідси, за допомогою граничного переходу, використовуючи другу чудову границю, одержимо
,
де , .
Наслідок. При , маємо: .
2. Похідна показникової функції. Функція є оберненою до функції . Тоді, згідно правила диференціювання оберненої функції, знаходимо
Оскільки , то одержимо формулу .
Зокрема, для , маємо .
3. Похідна степеневої функції. Функція при x>0 може бути представлена у вигляді . Використовуючи правила диференціювання показникової та складної функцій, одержимо
.
Якщо x<0, то функцію можна представити інакше:
.
Тоді
.
Нехай . Вираз визначений тільки, коли . В цьому випадку
.
Таким чином приходимо до висновку: похідна степеневої функції може бути знайдена за формулою
для будь-яких α і x, для яких має зміст права частина цієї формули.
Приклад. Знайти похідну функції . Використавши формулу для похідної степеневої функції, дістанемо:
4. Похідні тригонометричних функцій. Для знаходження похідної від функції скористаємося формулою , першою чудовою границею і неперервністю функції :
Скориставшись тригонометричною тотожністю і правилом диференціювання складної функції, одержимо
Для знаходження похідної функції скористаємося формулою похідної частки двох функцій
.
Аналогічно
5. Похідні обернених тригонометричних функцій. Функція є оберненою для функції . Скориставшись формулою похідної від оберненої функції, одержимо:
Аналогічно функція є оберненою для функції . Тому
Функція є оберненою для функції . Тому
Аналогічно функція є оберненою для функції . Тому
6. Диференціювання функцій, заданих неявно. Якщо функціональну залежність між у та х задано неявно, тобто рівністю , тоді для знаходження похідної по х функції у треба продиференціювати тотожність , враховуючи, що у залежить від х, а потім розв’язати рівняння, яке одержали, відносно :
, .
Приклад. Знайти похідну функції у, яка задана рівнянням і обчислити її значення в точці (2;1).
Розв’язання. Диференціюючи обидві частини рівняння і враховуючи, що у залежить від х, одержимо , звідки .
Значення похідної при буде дорівнювати .
7. Диференціювання функцій, заданих параметрично. Нехай залежність у від х задана параметрично у вигляді
,
де t – параметр.
Якщо t одержить приріст Δ t, то х та у також одержать прирости, відповідно: , , причому при та . Тому
.
Таким чином, яка задана параметрично, знаходять за формулою
.
На закінчення основні правила та формули для знаходження похідних подамо у вигляді таблиці.
Таблиця правил та формули обчислення похідних
№ п/п |
Функція у |
Похідна |
№ п/п |
Функція у |
Похідна |
№ п/п |
Функція у |
Похідна
|
1 |
с |
0 |
9 |
|
|
17 |
|
|
2 |
x |
1 |
10 |
|
|
18 |
|
|
3 |
cu |
|
11 |
|
|
19 |
|
|
4 |
u ± v |
|
12 |
|
|
20 |
|
|
5 |
u∙v |
|
13 |
|
|
21 |
|
|
6 |
|
|
14 |
|
|
22 |
|
|
7 |
|
|
15 |
|
|
23 |
|
|
8 |
|
|
16 |
|
|
24 |
|
|