- •Розділ 4. Похідна і диференціал функцій однієї змінної
- •4.1. Похідна функції в точці Нехай функція визначена в деякому околі точки .
- •4.2. Деякі задачі, що приводять до поняття похідної
- •1. Задача про швидкість руху. Механічний зміст похідної
- •2. Задача про дотичну. Геометричний зміст похідної
- •Тому, рівняння дотичної буде
- •Задача про продуктивність праці. Економічний зміст похідної
- •4. Інші економічні задачі, в яких використовується поняття похідної
- •4. Граничні витрати, доход, прибуток
- •4.3. Золоте правило економіки
- •4.4. Зв’язок між неперервністю та диференційованістю функцій
- •4.5. Правила диференціювання
- •4.6. Похідні основних елементарних функцій
- •8. Похідні вищих порядків
- •4.7. Диференціал функції і наближені обчислення
- •4.8. Логарифмічна похідна
4. Інші економічні задачі, в яких використовується поняття похідної
У практиці економічних досліджень широке застосування отримали виробничі функції, які використовуються для встановлення залежностей, наприклад, випуску продукції від витрат ресурсів, витрат виробництва від обсягу продукції, виторгу від продажу товару і т.д.
Розглянемо деякі характеристики для вищезгаданих виробничих функцій, пов’язаних з поняттям похідної.
1. Граничні і додаткові витрати виробництва. Нехай виробнича функція – функція витрат виробництва, що залежить від кількості продукції Q. Тоді маргінальними або граничними витратами виробництва MC називається границя
. (5)
Величина характеризує наближено додаткові витрати на виробництво ще однієї одиниці додаткової продукції. Дійсно, при де для граничних витрат можемо записати наближену рівність
, (6)
яка означає, що граничні витрати наближено дорівнюють додатковим витратам (приросту функції) на виробництво ще однієї одиниці додаткової продукції.
Приклад 3. Нехай . Тоді додаткові і граничні витрати, які пов’язані зі збільшенням випуску від Q до Q+1, обчислюються за формулами:
,
.
У табл. 1 наведено значення і при .
Наведені результати свідчать про близькість додаткових і граничних витрат.
2. Граничний виторг. Нехай U(Q) виторг від продажу Q одиниць товару.
Граничним виторгом називається границя
. (7)
3. Граничний продукт. Нехай виробнича функція встановлює залежність випуску продукції у від витрат ресурсу х.
Граничним продуктом називається границя
. (8)
4. Граничні витрати, доход, прибуток
Означення 5. Граничними витратами (вартістю) називають додаткові витрати, пов’язані з виробництвом ще однієї додаткової одиниці продукції.
Аналогічно визначають маргінальні доход та прибуток.
Позначимо через , і витрати, доход та прибуток від виробництва одиниць виробленої та проданої продукції. Тоді:
Гранична вартість . (9)
Граничний доход
. (10)
Граничний прибуток
. (11)
4.3. Золоте правило економіки
Розглянемо однофакторну або одноресурсну виробничу функцію , яка задає обсяг вироблюваної продукції за одиницю часу в залежності від обсягу х витраченого ресурсу, яким часто може бути кількість живої людської праці, вираженої у вигляді людино-годин або кількості працюючих. Нехай кількість працівників фірми на даний час дорівнює n. Як правило, виробнича функція диференційовна, тому скориставшись формулою приросту функції при можемо записати
.
Якщо число n досить велике, то дана наближена рівність достатньо точна. Але що таке у даному випадку. Це не що інше, як додаткова продукція, вироблена новим працівником за одиницю часу. З другого боку похідну виробничої функції при в економіці називають граничною продуктивністю праці, на відміну від середньої, яка дорівнює .
Нехай v – ціна одиниці продукції, а p – заробітна плата нового працівника за одиницю часу. Тоді якщо , то доцільно найняти ще одного працівника, оскільки він приносить фірмі більше прибутку, ніж вона йому платить у вигляді зарплати. Це нескладне правило носить універсальний характер і називається золотим правилом економіки.