2. Невизначеність вигляду , задана ірраціональними виразами

Приклад. Знайти .

Розв’язання. При маємо невизначеність , отже – критичний множник. Позбудемося ірраціональності в чисельнику. Маємо

.

3. Невизначеність вигляду , задана відношенням двох многочленів

Нехай потрібно знайти границю дробово-раціональної функції

.

Розглянемо такі випадки:

а) Нехай , тоді, розділивши чисельник і знаменник на , знаходимо

.

Якщо тепер перейти до границі у кожному доданку чисельника і знаменника, то у чисельнику дістанемо число , а у знаменнику – нескінченність. Відношення скінченого числа до нескінченної величини є нескінченно мала величина, тобто

.

б) Нехай , тоді, розділивши чисельник і знаменник на , дістанемо

.

в) Нехай , тоді, розділивши чисельник і знаменник на , знаходимо

.

Якщо тепер перейти до границі у кожному доданку чисельника і знаменника, то у чисельнику дістанемо нескінченність, а у знаменнику – число . Таке відношення дає нескінченно велику величину, тобто .

Таким чином,

.

Приклад. Знайти .

Розв’язання. Маємо невизначеність . Поділимо чисельник і знаменник дробу на .

.

4. Невизначеність вигляду , задана ірраціональними виразами

Приклад. Знайти .

Розв’язання. Маємо невизначеність . Для розкриття невизначеності потрібно позбутись ірраціональності в чисельнику:

.

3.11. Дві важливі границі Перша важлива границя

.

Доведення. Функція визначена в області . Оскільки має місце рівність , то функція парна, з чого випливає, що вона симетрична відносно осі ординат. Тому, якщо в точці існують однобічні границі, то вони рівні між собою, тобто:

Розглянемо границю цієї функції в точці справа і доведемо, що .

Рис. 4

Побудуємо у першій чверті координатної площини коло одиничного радіуса (рис. 4) і візьмемо кут х , який дорівнює аргументу функції.

Тоді:

1. ;

2. ;

3. .

Порівнюючи площі трикутників ОАС, ОВС і колового сектора ОАС, дістанемо

,

звідки .

Розділивши останні нерівності на , дістанемо

або .

Оскільки , то згідно теореми “про два міліціонери”, маємо .

Приклад 1. Знайти , при .

Розв’язання. Зведемо розглядувану границю до першої важливої границі, помноживши та поділивши дріб на а та ввівши позначення :

.

Друга важлива границя

, . (6) Доведення. Вище було показано, що , де – натуральне число.

Спочатку доведемо, що має місце рівність

. (7)

Нехай х дійсне число, ціла частина якого . Тоді або з чого випливає, що .

Враховуючи, що , дістанемо нерівності

. (8)

Знайдемо границі лівої і правої частини нерівності (8) при :

,

.

Оскільки з нерівності при випливає, що , а у нерівності (8) ліва і права частини при прямують до однієї і тієї самої границі, що дорівнює е, то за теоремою Гур’єва

.

Покажемо, що

. (9)

Для доведення введемо змінну . Оскільки при , то

де .

Об’єднавши випадки (7) і (8), дістанемо границю (6).

Поклавши і врахувавши, що при , дістанемо

. (10)

Одержана границя співпадає з точністю до позначення змінної із другою формулою (6).

Зауваження. При обчисленні границь, пов’язаних з числом, часто користуються таким твердженням:

Якщо існують границі , , причому , то існує також границя , яка обчислюється за формулою

. (11)

Приклад 1. Знайти .

Скориставшись формулою (6), дістанемо

.

Приклад 2. Знайти .

Скориставшись формулами (6) та (11), дістанемо