- •3.1. Границя числової послідовності
- •Дійсно, згідно означення границі
- •3.2. Основні положення про границі числових послідовностей
- •3.3. Нескінченні границі
- •3.4. Число е. Натуральні логарифми
- •3.5. Границя функції на нескінченності і в точці
- •Нерівність еквівалентна подвійній нерівності .
- •3.6. Нескінченно малі та нескінченно великі величини
- •3.7. Зв’язок між нескінченно малими і нескінченно великими
- •3.8. Порівняння нескінченно малих та нескінченно великих величин
- •Аналогічні порівняння мають місце і для нескінченно великих величин.
- •3.9. Основні теореми про границі функції
- •3.10. Розкриття деяких невизначеностей
- •Невизначеність вигляду , задана відношенням двох многочленів
- •Невизначеність вигляду , задана ірраціональними виразами
- •Невизначеність вигляду , задана відношенням двох многочленів
- •Невизначеність вигляду , задана ірраціональними виразами
- •3.11. Дві важливі границі Перша важлива границя
- •3.12. Задача про неперервне нарахування відсотків
- •3.13. Неперервність функції
- •3.13.2. Розрив функції. Класифікація точок розриву
- •3 Рис. 7 .13.3. Властивості неперервних функцій
3.3. Нескінченні границі
Означення. Кажуть, що послідовність має своєю границею +, якщо для будь-якого (як завгодно великого числа А>0 існує такий номер N, починаючи з якого усі члени послідовності більші за А:
.
У цьому випадку пишуть: .
Наприклад, кожна із послідовностей на нескінченності має границю +.
Аналогічно визначається границя -: запис означає, що
.
Границі + і - називають нескінченними границями.
3.4. Число е. Натуральні логарифми
Розглянемо послідовність , та підрахуємо декілька її членів, які подамо у вигляді таблиці
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
10 |
100 |
1000 |
10000 |
|
2 |
2.25 |
2.37 |
2.44 |
2.49 |
2.59 |
2.70 |
2.717 |
2.718 |
Бачимо, що . Можна показати, що для будь-якого n має місце нерівність , яка означає, що послідовність монотонно зростаюча. В той же час усі підраховані значення задовольняють нерівності . Можна показати, що ці нерівності мають місце для усіх значень n. Тоді, згідно з теоремою 2, монотонна обмежена послідовність має скінчену границю.
Означення. Скінчену границю послідовності називають числом е (на честь Леонарда Ейлера), тобто
. (2)
Число е – ірраціональне число, яке часто використовується в математиці та економіці, а з точністю дорівнює 2,71828182845… .
Логарифми, основою яких є число е, називаються натуральними або неперовими (на честь шотландського математика Дж. Непера – винахідника логарифмів) і позначаються . Між десятковими і натуральними логарифмами існує зв’язок, який виражається формулами:
, .
3.5. Границя функції на нескінченності і в точці
Границя функції на нескінченності. З поняттям границі числової послідовності тісно пов’язане поняття границі функції на нескінченності. Якщо у першому випадку змінна n, зростаючи, приймає лише цілі значення, то у другому випадку змінна х, змінюючись, приймає будь-які значення.
Означення. Число b називається границею функції при , яке прямує до нескінченності , якщо для будь-якого , знайдеться таке додатне число . , що для всіх таких, що , справедлива нерівність .
Дамо означення границі функції за допомогою логічних символів:
.
Ця
границя записується так:
Рис.
2
Зокрема, якщо відомо, що існують границі лише коли змінна прямує до + чи -, то границі записуються у вигляді: , .
Геометрична інтерпретація границі на нескінченності (рис. 2.).
Нерівність еквівалентна подвійній нерівності .
Границя функції в точці. Нехай функція задана в деякому околі точки x0, крім, можливо, самої точки x0.
Означення. Число b називається границею функції при x, що прямує x0 (або в точці x0), якщо для будь-якого (як завгодно малого), знайдеться таке додатне число , що для всіх х, таких, що виконується нерівність (рис. 3).
Записується так .
Рис.
3
Приклад 1. Довести, що .
Розв’язання. Згідно означення границі, маємо
.
З останньої нерівності випливає, що
.
Для того, щоб виконувалась остання нерівність достатньо взяти .
Приклад 2. Довести, що .
Розв’язання. Задамо довільне число і знайдемо число , таке, що для всіх і таких, що , виконується нерівність
. (3)
Щоб знайти таке , слід розв’язати останню нерівність відносно . На відміну від попереднього прикладу, де це вдалося зробити за допомогою тотожних перетворень, у даному прикладі потрібно застосувати прийом підсилення нерівності (3). Справді
. (4)
Підсилимо нерівність (3), замінивши множник на число, якого він не перевищує. Для цього на шукане накладемо обмеження . Це завжди можна зробити, оскільки залежить від , а число , можна задавати як завгодно малим.
Тоді , або . Додаючи до всіх трьох частин останньої нерівності число 4, дістанемо . Тому нерівність (4) підсилимо, якщо візьмемо .
Замінивши в нерівності (4) множник на число 5, будемо вимагати виконання нерівності
. (5)
Якщо виконується нерівність (5), то й поготів виконується нерівність (4) і рівносильна їй нерівність (3).
З нерівності (5) знаходимо, що
.
Отже, за можна взяти менше із двох чисел 1 і .
Таким чином, якщо і , то , для чого достатньо взяти .
Зауваження. Якщо функція має границю число b1 , лише при умові, що зліва, то використовується запис: , а число b1 називається однобічною границею функції зліва.
Якщо функція має границю b2 при справа, то використовується запис .
Для існування границі функції в точці х0 необхідно і достатньо, щоб
.
Якщо в деякій точці х0 лівостороння границя функції не дорівнює правосторонній, то функція терпить розрив в цій точці.
Наприклад, функція в точці має різні односторонні границі: .