3.6. Нескінченно малі та нескінченно великі величини

Означення. Функція називається нескінченно малою величиною при або при , якщо .

Так, наприклад, нехай . Тоді . Отже, функція в точці є нескінченно малою.

Аналогічно, функція є нескінченно малою при , оскільки .

Означення. Функція називається нескінченно великою величиною при або при , якщо .

Наприклад, функція є нескінченно великою при , оскільки .

3.7. Зв’язок між нескінченно малими і нескінченно великими

величинами

Теорема. Якщо функція є нескінченно мала величина при або при , то функція є нескінченно велика при або при . І навпаки, якщо функція f(x) нескінченно велика при ( ), то функція є нескінченно малою при .

Наприклад, є нескінченно малою величиною при , а функція є нескінченно великою при .

3.8. Порівняння нескінченно малих та нескінченно великих величин

Нехай , – дві нескінченно малі величини при . Тоді якщо:

а) , то нескінченно мала вищого порядку ніж

б) , то і нескінченно малі одного порядку малості;

в) , то і є еквівалентними нескінченно малими величинами.

Аналогічні порівняння мають місце і для нескінченно великих величин.

Знаходження границі відношення двох нескінченно малих або двох нескі­нченно великих величин називають розкриттям невизначеності їх відношення.

3.9. Основні теореми про границі функції

Наведемо теореми, які значно полегшують знаходження границі функції.

Теорема 1 (про границю суми, різниці, добутку і частки). Якщо кожна із функцій та має скінчену границю при або при , то при ( ), існують також границі функцій , , (остання за умови, що ) і справедливі формули:

1) ,

2) ,

3) .

Наслідки. Якщо існує, то виконуються рівності:

1. ,

2. .

Теорема 2 (Гур’єва). Якщо і , то .

Приклад 4. Знайти границю функції у будь-якій точці , де знаменник не дорівнює нулю.

Розв’язання. Згідно теореми 1 та наслідку до, маємо:

,

,

.

Зокрема, при , .

3.10. Розкриття деяких невизначеностей

Як бачимо з прикладу 4, у найпростіших випадках знаходження границі зводиться до підстановки у функцію граничного значення аргументу . Але часто така підстановка приводить до невизначених виразів. Це такого типу вирази:

1. відношення двох нескінченно малих величин – невизначеність вигляду ;

2. відношення двох нескінченно великих величин – невизначеність вигляду ;

3. різниця двох нескінченно великих величин – невизначеність вигляду та інші.

Операцію знаходження границі у цих випадках називають розкриттям невизначе­ності.

Розглянемо деякі окремі випадки.

1. Невизначеність вигляду , задана відношенням двох многочленів

Приклад. Знайти .

Розв’язання. Оскільки границя чисельника ,

границя знаменника

,

то застосувати теорему про границю частки не можна, оскільки границя знаменника дорівнює нулю, а отже маємо невизначеність . Щоб розкрити дану невизначеність, застосуємо загальний прийом; розкладемо чисельник і знаменник на множники, серед яких обов’язково буде множник (х-1):

, .

Підставивши, одержані розклади в границю дістанемо

.

Скорочення на (х-1) можливе, тому що при визначені границі значення (у даному прикладі ).

Множник через який чисельник і знаменний прямують до нуля, інколи нази­вають критичним множником.

Узагальненням даного випадку є відшукання границі дробово-раціональної функції , коли граничне значення аргументу є коренем чисельника і знаменника кратності k.

Виділивши у чисельнику і знаменнику множник , дістанемо

.

Оскільки многочлени і не мають спільних множників, то границя знаходиться підстановкою значення в одержаний вираз дробово-раціональної функції.