4.3. Визначники

Визначником п-го порядку квадратної числової матриці А по­рядку п називають число, яке знаходиться з елементів матриці А як суму добутків по одному числу з кожного рядка і кожного стовпця. Визначник матриці А позначають |А| або (А).

Правило знаходження визначника 2 порядку: визначник дру­гого порядку дорівнює різниці добутків елементів головної та допоміжної діагоналей, тобто

(1)

Схему цієї формули можна зобразити таким чином

“-“

“+”

a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

Знак (+) вказує, що добуток елементів головної діагоналі треба брати зі своїм знаком, знак (- ) означає, що добуток еле­ментів неголовної діагоналі треба брати з протилежним знаком.

Приклад 1. Обчислити визначники

Розв'язування. Будемо обчислювати задані визначники за формулою (І):

Правило знаходження визначника 3-го порядку: Ви­значник третього порядку знаходять за формулою

(2)

Кожен доданок у правій частині (2) має 3 множники з різних рядків та стовпців. Три перших доданка із знаком (+) є добут­ками елементів головної діагоналі і елементів вершин трикутни­ків з основами паралельними головній діагоналі (дивись схему а) малюнка 1). Три останні доданки у правій частині (2) мають від'ємний знак. Вони є добутками елементів неголовної діаго­налі та елементів вершин трикутників із основами паралельни­ми неголовній діагоналі (рис. 1 b).

Рис. 1

Ця схема обчислення визначника третього порядку називається правилом Саріуса. Існують також інші схеми обчислення виз­начника 3-го порядку.

Приклад 2. Обчислити визначник

Розв'язування. Згідно з формулою (2) одержимо

Для обчислення визначників порядку п > 3 використовують алгебраїчні доповнення.

Означення 1. Мінором М_ij елемента а_ij визначника п-го порядку називається визначник (п- 1) порядку, який одержуємо з визнач­ника | А | шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент а_ij.

Означення 2. Алгебраїчним доповненням А_ij елемента а_ij визна­чника називають мінор цього елемента, взятий зі знаком (-1)^i+j, тобто

A_ij=(-1)^i+j M_ij (3)

Приклад 3. Знайти алгебраїчні доповнення до елементів a₂₁ та a₃₃

визначника .

Розв'язування. Алгебраїчні доповнення до елементів а₂₁ та a₃₃ позначимо А₂₁ та А₃₃, відповідно. Згідно з означенням 2

A₂₁=(-1)²⁺¹M₂₁=-M₂₁; A₃₃=(-1)³⁺³M₃₃=M₃₃ (4)

Мінори М₂₁ та М₃₃ знайдемо згідно з означенням 1:

Підставимо ці значення мінорів у відповідні рівності (4), одержимо шукані алгебраїчні доповнення: A₂₁=-13; A₃₃=5.

Тепер можемо сформулювати правило обчислення визначни­ка п-го порядку.

Правило. Визначник п-го порядку дорівнює сумі добутків усіх елементів будь-якого стовпця (або рядка) на відповідні їм алгеб­раїчні доповнення.

У випадку використання і-го рядка це правило математично

можна записати так

(5)

Рівність (5) називають розкладом визначника за елементами і-го рядка. Визначник можна розкласти і за елементами k-го стовпця (k= 1, 2, ..., n).

Отже, обчислення визначника п-го порядку зводиться до об­числення визначників (n - 1) порядку шляхом розкладення ви­значника за елементами будь-якого рядка або стовпця.

Зауваження. Для скорочення обчислень визначника доцільно його розкласти за елементами такого рядка чи стовпця, який містить найбільшу кількість нулів. У такому випадку не треба знаходити алгебраїчні доповнення до елементів, що дорівнюють 0 (добуток 0 на будь-яке алгебраїчне доповнення дорівнює ну­леві).

Таким чином, для ефективного використання методу обчис­лення визначника шляхом його розкладання за елементами будь-якого рядка або стовпця треба навчитись робити еквівалентні перетворення визначника, які дають можливість одержати нулі у деякому рядку або стовпці.

Виконання таких перетворень здійснюється з використанням деяких властивостей визначника.

Властивості визначників:

1. Визначник при транспонуванні не змінюється.

Пояснення дамо на прикладі визначників другого порядку. Нехай

.

Праві частини рівні, тому і ліві також рівні, тобто (А) = (А^T).

Наслідок. У визначнику рядки та стовпці мають однакові властивості.

2. Якщо у визначнику поміняти місцями будь-які два рядки (стовпці), то визначник змінить знак на протилежний. Дійсно, якщо у визначнику А поміняти місцями перший і другий рядки, то одержимо

Наприклад, , тому

3. Якщо визначник має два однакових рядки (стовпця), то він дорівнює нулю.

Дійсно, якщо ми поміняємо місцями рівні рядки (стовпці), то визначник не зміниться, але згідно властивості 2 він повинен змінити знак на протилежний. Тому визначник повинен дорівнювати 0.

Наприклад: =-6+6=0.

4. Якщо у визначнику усі елементи одного рядка (стовпця) помножити на однакове дійсне число k, то визначник зросте також в k разів.

Наприклад, (А)= =4-15=-11

(А₁)= =4k-15k=-11k

тобто (А₁) =k(A), але |A₁ одержано з визначника |А| шляхом множення усіх елементів першого рядка на k.

Наслідок 1. Спільний множник усіх елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника можна винести за знак визначника.

Наслідок 2. Якщо усі елементи будь-якого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

5. Визначник, у якого відповідні елементи двох будь-яких рядків (стовпців) пропорційні, дорівнює нулю. Доведення цієї властивості випливає з властивостей 3 та 4.

6. Якщо у визначнику елементи і-го рядка (k-го стовпця) є сумою двох доданків, тоді він дорівнює сумі двох відповідних визначників.

Наприклад,

.

7. Якщо до всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця) цього визначника, помножені на одне й те ж саме число, то визначник не зміниться.

Приклад 4. Нехай заданий визначник .

Перетворимо визначник таким чином:

1) елементи першого рядка визначника помножимо на (-3) та додамо до відповідних елементів другого рядка визначника;

2) елементи першого рядка визначника помножимо на (-2) та додамо до відповідних елементів третього рядка визначника .

Отримаємо визначник, який позначимо через : .

Перевіримо, що ₁= . Для цього обчислимо ці визначники

.

Отже, цей приклад ілюструє:

1) справедливість властивості 7;

2) цю властивість доцільно застосувати до перетворення визначників 4-го та вищих порядків, щоб одержати чим більше нулів у якомусь стовпці (або рядку) і тим самим спростити обчислення заданого визначника.

Приклад 5. Обчислити визначник 4-го порядку

Розв'язування. Перетворимо цей визначник таким чином, щоб зробити якомога більше нулів у якомусь стовпчику, краще у першому, бо там вже є один нуль. Для цього елементи першого рядка помножимо на 3 та додамо до відповідних елементів третього рядка, потім елементи першого рядка помножимо на (-5) та додамо до відповідних елементів четвертого рядка. Одержимо визначник:

.

Тепер визначник доцільно розкласти за елементами першого стовпця:

Тут ми використали наслідок 1 властивості 4 і спростили визначник. Обчислимо його:

=3(20-96-84+60-42+64)=3(-78)=-234.

Вправи до розділу 4.3

Обчислити визначники:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

6. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24.