4.2. Найпростіші дії з матрицями

Найпростішими діями з матрицями називають множення матриці на число, їх додавання та віднімання, множення матриць:

Добутком матриці А на число k називається матриця, елемен­ти якої дорівнюють добуткам елементів матриці А та числа k:

. (1)

Додавати та віднімати можна лише матриці однакового розміру.

Алгебраїчною сумою матриць А та В одного розміру m x n на­зивається матриця С розміру m х n, елементи якої c_ij дорівнюють відповідній алгебраїчній сумі елементів а_ij та b_ij матриць А та В, тобто

. (2)

Наприклад, якщо

,

тоді

.

Розглянемо ще один приклад. Якщо матриця F відповідає ви­робничим параметрам за перший квартал року, а матриця Q, побудована по даним тих же параметрів за другий квартал року, тоді F + Q буде характеризувати ці параметри за перший та дру­гий квартали, тобто за півроку.

Для знаходження добутку АВ матриць А та В необхідно, щоб кількість стовпців матриці А (першого множника) дорівнювала кількості рядків матриці В (другого множника). Добутком АВ матриці А розміру m x n і матриці В розміром n x p називається матриця С розміром m х p, елементи якої с_ij дорівнює сумі до­бутків елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В, тобто кожен елемент матриці с зна­ходиться за формулою

с_ij=а_i1 b_j1 +a_i2 b_2j +a_i3 b_3j +...+a_in b_nj . (3)

Зауваження. Добуток матриць взагалі не має властивості комутативності, тобто АВВА. Якщо добуток двох матриць має властивість АВ=ВА, тоді кажуть, що матриці комутують. На­приклад, АЕ=ЕА=А.

Приклад 2. Знайти добуток матриць

та

Розв'язування. У матриці А три стовпці, у матриці X— три рядки, тому ці матриці можна множити. Добутком цих матриць буде матри­ця-стовпець

. (4)

Приклад 3. Нехай

знайти АВ та ВА.

Розв'язування.

Отже, АВВА.

Зауваження. Ділення матриць A на B розглядають як добуток А В^-1, де В^-1 – матриця, обернена до матриці В, визначення та зна­ходження якої розглянемо пізніше, після введення нових по­нять.

Вправи до розділів 4.1 та 4.2

Задані матриці

Знайти:

1. Розмір кожної з цих матриць.

2. Матрицю F = (N + 1)А - (N + 2)В.

3. Коли виконуються рівності: а) АХ = С; b) АХ = Y; c) BY = Z ?

4. За допомогою якої матриці можна представити матрицю Z через матрицю X, якщо Z = BY, Y = АХ ?

5. Обчислити D² - Н² та (D - H)(D + Н) і показати, що D² – H²  (D-H)(D+H).

6. Записати наступні системи лінійних алгебраїчних рівнянь у матричній формі

7. При виробництві своєї продукції фірма використовує 4 різних види сировини М₁, М₂, М₃ та M₄ вартістю 5, 7, 6 та 3 гривні за одиницю виміру. На виготовлення одиниці продукції потрібно 4(N + 1), 3(N + 1), 2(N + 1) та 5(N + 1) одиниць відповід­ного виду сировини. Виразити загальну вартість сировини по­трібної для виготовлення одиниці виробу, як добуток двох мат­риць.

8. Фірма використовує три різних види сировини М₁, М₂ та М₃ для виробництва двох видів продукції Р₁ та Р₂. Для виготов­лення кожної одиниці Р₁ потрібно 3, 2 та 4 одиниці сировини М₁, М₂ та М₃ , а для виготовлення кожної одиниці Р₂ потрібно 4, 1, 3 одиниць сировини відповідно. Припустимо, що фірма виготовляє (N+2)  20 одиниць виробів Р₁ та 30(N+2) одиниць виробів Р₂ кожного тижня. Знайти:

a) необхідну щотижневу кількість сировини;

b) вартість сировини для виготовлення одиниць виробів P₁ та Р₂, якщо вартість одиниці сировини М₁, М₂ та М₃ буде 6, 10 та 12 гривень;

c) чому дорівнюють загальні щотижневі витрати вироб­ництва продукції Р₁ та Р₂?

9. Знайти добуток матриць АВ або ВА.