6. Геометрическое определение вероятности
Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения.
Ч
тобы
преодолеть недостаток классического
определения вероятности, состоящий в
том, что оно не применимо к испытаниям
с бесконечным числом исходов, вводят
геометрические
вероятности
– вероятности попадания точки в область.
Рассмотрим на плоскости некоторую область Ω., имеющую площадь SΩ, и внутри области Ω. область D с площадью SD.
В области Ω. случайно выбирается точка X. Этот выбор можно интерпретировать как бросание точки X в область Ω,. При этом попадание точки в область Ω. – достоверное событие, в D – случайное. Предполагается, что все точки области Ω, равноправны (все элементарные события равновозможны), т.е. что брошенная точка может попасть в любую точку области Ω. и вероятность попасть в область D пропорциональна площади этой области и не зависит от её расположения и формы. Пусть событие А={Х D}, т.е. брошенная точка попадет в область D.
Геометрической вероятностью события А называется отношение площади области D к площади области Ω, т.е.
.
Геометрическое определение вероятности события применимо и в случае, когда области Ω и D обе линейные или объемные.
В
первом случае
,
во втором –
,
l
–
длина, а V
– объем соответствующей области.
Все
3 формулы можно записать в виде
,
где через mes
обозначена мера (S,l,
V)
области.
Геометрическая вероятность обладает всеми свойствами, присущими классическому определению.
Условная вероятность и её свойства
1. Условная вероятность
Пусть А и В – два события, рассматриваемые в данном опыте. Наступление одного события (скажем, А) может повлиять на возможность наступления другого (В).
Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.
Вероятность события В при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью и обозначается Р (В/А).
Условной
вероятностью
события В при условии, что произошло
событие А называется отношение числа
k
тех
исходов, благоприятствующих событию
В, которые благоприятствуют и событию
А,
к числу m
всех исходов, благоприятствующих А,
т.е.
.
Т.к.
,
где n
– число возможных исходов, то
,
(1)
где Р(А) ≠ 0 (т.к. АВ – событие, состоящее в совместном наступлении событий А и В). (подчеркнутое есть произведение АВ). Полученная формулa (l) обычно используется для подсчета условной вероятности.
Из определения условной вероятности следует, что
Р (АВ)=Р(А)∙Р(В/А)=Р(В)∙Р(А/В), (2)
т.е. вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.
Равенство (2) называют правилом или теоремой умножения вероятностей. Это правило обобщается на случай п событий.