1. Случайные события

Пусть проводится некоторый опыт (эксперимент, наблюдение, испытание), исход которого предсказать заранее нельзя. Такие эксперименты в ТВ называют случайными.

Случайным событием (или просто: событием) называется любой исход опыта, который может произойти или не произойти. События обозначаются: А, В, С...

Пример 1: а) Выстрел по мишени – это опыт (испытание).Попадание в определенную область мишени – событие.

б) В урне имеются цветные шары. Из урны

наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета – событие.

Различные результаты эксперимента, которые не могут наступить одновременно, называются исходами или элементарными событиями.

Множество всех элементарных событий эксперимента называются пространством элементарных событий, обозначаются Ω. (омега).

Пример 2: Монета подбрасывается 3 раза подряд. Исходом каждого бросания служит выпадение «герба» – Г или «решки» – Р. Описать пространство элементарных событий данного эксперимента и описать событие А, состоящее в том, что выпало не менее 2-х «гербов».

Исходом данного эксперимента является появление либо 3-х «гербов», либо 3-х «решек», либо комбинаций «гербов» и «решек». Эти исходы будем записывать следующими наборами символов: ГГГ, РРР, ГРГ, и т.д. Используя эти обозначения, пространство элементарных событий Ω можно записать с.о.: Ω={ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РРР, РРГ, РГР, ГРР). Событие А состоит из 4-х исходов: А={ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ}.

Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного опыта.

Событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти, обозначается Ø.

Пример 3: Бросание игральной кости.

Событие А – выпадение 5 очков, событие В – выпадение четного числа очков, событие С – выпадение 7 очков, событие D – выпадение целого числа очков, событие Е – выпадение не менее 3-х очков.

События А и В – случайные, событие С – невозможное, событие D – достоверное.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в данном опыте. В противном случае события называются совместными. В примере 3 события А и В - несовместные, А и Е – совместные.

Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате испытания появится одно и только одно из них.

Пример 4: (события, образующие полную группу)

1. попадание и промах при выстреле;

2. появление 1,2,3,4,5,6 очков при бросании игральной кости.

События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно их них не является более возможным, чем другое.

Пример 5: (равновозможные события)

1. появление числа очков от 1 до 6 на брошенной игральной кости;

2. появление «герба» и появление надписи при бросании монеты.

2. Действия над событиями

Во многих областях точных наук применяются символические операции над различными объектами, которые получают свои названия по аналогии с арифметическими действиями, рядом свойств, которых они обладают. Введем такие символические операции в ТВ над событиями.

Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В вместе).

Произведением событий А и В называется событие С=А∙В, состоящее в совместном наступлении этих событий (т.е. и А и В одновременно).

Разностью событий А и В называется событие С=А-В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В.

Противоположным событию А называется событие Ā, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А (т.е. Ā означает, что событие А не наступило).

Событие А влечет событие В (или А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А, следует, что происходит событие В; записывают А В.

Если А В и В А, то события А и В называются равными; записывают А=В.

События и действия над ними можно наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Вена: достоверное событие Ω изображается прямоугольником; элементарные случайные события - точками прямоугольника; случайное событие – областью внутри него.

Пример: В примере 3 из п.1 В={2,4,6}, Е={3,4,5,6}, А={5},

D={1,2,3,4,5,6}.

С помощью введенных операций можно дать другие определения несовместных событий и полной группы несовместных событий.

События А и В называются несовместными, если их произведение есть невозможное событие, т.е. А∙В=Ø.

Несколько событий А₁,А₂,...,А_n образуют полную группу несовместных событий, если их сумма представляет всё пространство элементарных событий, а сами события несовместны, т.е. Ω и Ø (i j).

Свойства операций над событиями

1. А+В=В+А, А·В= В А (переместительное);

2. (А+В)∙С=А∙С+В∙С, А·В+С=(А+С)∙(В+С)

(распределительное);

3. (А+В)+С=А+(В+С), (А∙В)∙С=А·(В∙С) (сочетательное);

4. А+А=А, А·А=А;

5. А+Ω=Ω, А ∙ Ω.=А;

6. A+Ā=Ω, A·Ā=Ø;

7. =Ω, =Ø, =A;

8. А-В=А· ;

9. – (законы де Моргана).

Пример: