3. Классическое определение вероятности события

Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число назовем вероятностью события.

Понятие вероятности события – 2-ое основное понятие ТВ. Вероятность события есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Элементарные события, в которых интересующий нас исход наступает, называются благоприятствующими этому событию.

Пример 1: Если при бросании игральной кости нас интересует выпадение четного числа очков, то элементарные события по выпадению 2, 4 и 6 очков являются благоприятствующими.

Вероятностью события А называется отношение числа т случаев, благоприятствующих этому событию к общему числу п случаев, т.е. (1).

Пример 2: В урне находится 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вытянутый шар будет белым?

4. Аксиоматическое определение вероятности

Пусть Ω – множество всех возможных исходов некоторого опыта (эксперимента). Согласно аксиоматическому определению вероятности, каждому событию А (А – подмножество множества Ω) ставится в соответствие некоторое число Р(А), называемое вероятностью события А, причем так, что выполняются следующие 3 условия (аксиомы вероятностей):

1. Аксиома неотрицательности: вероятность любого события A S неотрицательна, т.е. Р(А)≥0;

2. Аксиома нормированности: вероятность достоверного события равна 1, т.е. P(Ω)=1;

3. Аксиома сложения (аддитивности): Р A_k = P(A_k), если A_i·A_j=Ø (i j), т.е. вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Из аксиом вытекают основные свойства вероятности.

Основные свойства вероятности

1. Вероятность невозможного события равна 0, т.е.

Р (Ø)=0.

2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е. Р(А)+Р(Ā)=1.

3. Вероятность любого события не превосходит 1, т.е. 0≤Р(А)≤1 для любого события А.

4. Если A B, т.е. событие А влечет за собой событие В, то Р(А)≤Р(В).

5. Если события А₁,А₂,...,А_n образуют полную группу несовместных событий, т.е. =Ω и A_i·A_j=Ø, то =1.

Вероятность события А определяется по формуле классического определения вероятности , где т –число благоприятствующих событию А исходов), п –число всех исходов опыта.

5. Статистическое определение вероятности

Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение. Статистической вероятностью события называют относительную частоту или число, близкое к ней.

Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям ТВ.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Т.о., относительная частота события А определяется формулой , где т – число появлений события, п – общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

Пример 4: Многократно проводились опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появления «герба».

Число бросаний	Число появлений «герба»	Относительная частота
4 040	2 048	0,5069
12 000	6 019	0,5016
24 000	12 012	0,5005

Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причем тем меньше, чем больше число испытаний. Приняв во внимание, что вероятность появления «герба» при бросании монеты равна 0,5, мы вновь убеждаемся, что относительная частота колеблется около вероятности.

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

Для существования статистической вероятности события А требуется:

а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

б) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испытаний.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистическую вероятность события. Однако она может быть принята и за 0,39; 0,41 и т.д.